人邮高数 第6章 第6-4-18题
📝 题目
18．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y-z=1$ 之间的最短距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 与平面 $x + y - z = 1$ 之间的最短距离。
由于平面是无限延伸的，抛物面也是光滑曲面，最短距离应出现在某点处，该点处抛物面的切平面平行于给定平面，并且该点到平面的距离即为所求。
第一步：转化为条件极值问题
空间一点 $(x, y, z)$ 到平面 $x + y - z - 1 = 0$ 的距离公式为
$$
d = \frac{|x + y - z - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x + y - z - 1|}{\sqrt{3}}.
$$
由于抛物面上 $z = x^2 + y^2$，代入得
$$
d = \frac{|x + y - x^2 - y^2 - 1|}{\sqrt{3}}.
$$
我们要求这个绝对值表达式的最小值，等价于求函数
$$
f(x, y) = x + y - x^2 - y^2 - 1
$$
的绝对值的最小值。由于抛物面开口向上，平面斜切，两者之间应存在有限最短距离，且该点处 $x + y - x^2 - y^2 - 1$ 应为负值（可验证），因此可去掉绝对值，求
$$
F(x, y) = - (x + y - x^2 - y^2 - 1) = x^2 + y^2 - x - y + 1
$$
的最小值，因为距离公式中取绝对值后最小等价于这个正数的最小值。
第二步：求二元函数最小值
$$
F(x, y) = x^2 - x + y^2 - y + 1.
$$
分别配方：
$$
x^2 - x = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14,
$$
$$
y^2 - y = \left(y - \frac12\right)^2 - \frac14.
$$
因此
$$
F(x, y) = \left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 + 1 - \frac12 = \left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 + \frac12.
$$
显然当 $x = \frac12,\ y = \frac12$ 时，$F$ 取最小值 $\frac12$。
第三步：计算最短距离
此时
$$
d_{\min} = \frac{F_{\min}}{\sqrt{3}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}.
$$
对应的抛物面上的点为 $\left(\frac12, \frac12, \frac12\right)$，平面上的垂足也可求，但非必需。
因此最短距离为
$$
\boxed{\frac{\sqrt{3}}{6}}.
$$
难度：★★☆☆☆