人邮高数 第6章 第6-4-2题

[AI解答]

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以下为各小题的详细解答步骤。

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（1）
曲线参数方程：
$$
x=t,\quad y=t^{2},\quad z=\frac{t}{1+t}
$$
点 $(1,1,\frac12)$ 对应 $t=1$。
求导：
$$
x'(t)=1,\quad y'(t)=2t,\quad z'(t)=\frac{1}{(1+t)^{2}}
$$
在 $t=1$ 处：
$$
x'(1)=1,\quad y'(1)=2,\quad z'(1)=\frac{1}{4}
$$
切线方向向量 $\vec{T}=(1,2,\frac14)$。
切线方程：
$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-\frac12}{\frac14}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot(x-1)+2\cdot(y-1)+\frac14\cdot\left(z-\frac12\right)=0
$$
化简得：
$$
4x+8y+z-12=0
$$

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（2）
参数方程：
$$
x=\frac{t}{1+t},\quad y=\frac{1+t}{t},\quad z=t^{2}
$$
对应 $t=1$ 时点：
$$
x=\frac12,\quad y=2,\quad z=1
$$
求导：
$$
x'(t)=\frac{1}{(1+t)^{2}},\quad y'(t)=-\frac{1}{t^{2}},\quad z'(t)=2t
$$
在 $t=1$：
$$
x'(1)=\frac14,\quad y'(1)=-1,\quad z'(1)=2
$$
切线方向 $\vec{T}=(\frac14,-1,2)$，可取 $(1,-4,8)$。
切线方程：
$$
\frac{x-\frac12}{1}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-1}{8}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot\left(x-\frac12\right)-4(y-2)+8(z-1)=0
$$
化简：
$$
x-4y+8z-\frac12+8-8=0 \quad\Rightarrow\quad x-4y+8z-\frac12=0
$$
或乘以2：
$$
2x-8y+16z-1=0
$$

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（3）
参数方程：
$$
x=\frac{2t}{1+t},\quad y=\frac{1-t}{t},\quad z=\sqrt{t}
$$
点 $(1,0,1)$ 对应 $t=1$。
求导：
$$
x'(t)=\frac{2}{(1+t)^{2}},\quad y'(t)=-\frac{1}{t^{2}},\quad z'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}
$$
在 $t=1$：
$$
x'(1)=\frac12,\quad y'(1)=-1,\quad z'(1)=\frac12
$$
方向向量可取 $(1,-2,1)$。
切线方程：
$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-1}{1}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot(x-1)-2(y-0)+1\cdot(z-1)=0
$$
化简：
$$
x-2y+z-2=0
$$

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（4）
参数方程：
$$
x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t,\quad z=4\sin\frac{t}{2}
$$
点 $\left(\frac{\pi}{2}-1,1,2\sqrt{2}\right)$ 对应 $t=\frac{\pi}{2}$。
求导：
$$
x'(t)=1-\cos t,\quad y'(t)=\sin t,\quad z'(t)=2\cos\frac{t}{2}
$$
在 $t=\frac{\pi}{2}$：
$$
x'=1,\quad y'=1,\quad z'=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
$$
切线方程：
$$
\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-1\right)}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}+1\right)+1\cdot(y-1)+\sqrt{2}\cdot(z-2\sqrt{2})=0
$$
化简：
$$
x+y+\sqrt{2}z-\frac{\pi}{2}+1-1-4=0
$$
即
$$
x+y+\sqrt{2}z-\frac{\pi}{2}-4=0
$$

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（5）
参数方程：
$$
x=2\sin^{2}t,\quad y=3\sin t\cos t,\quad z=\cos^{2}t
$$
对应 $t=\frac{\pi}{4}$ 时：
$$
x=2\cdot\frac12=1,\quad y=3\cdot\frac12=\frac32,\quad z=\frac12
$$
求导：
$$
x'(t)=4\sin t\cos t=2\sin 2t,\quad y'(t)=3\cos 2t,\quad z'(t)=-2\cos t\sin t=-\sin 2t
$$
在 $t=\frac{\pi}{4}$：
$$
x'=2,\quad y'=0,\quad z'=-1
$$
切线方程：
$$
\frac{x-1}{2}=\frac{y-\frac32}{0}=\frac{z-\frac12}{-1}
$$
注意 $y$方向分量为0，切线垂直于y轴。
法平面方程：
$$
2(x-1)+0\cdot\left(y-\frac32\right)-1\cdot\left(z-\frac12\right)=0
$$
化简：
$$
2x-z-\frac32=0
$$
或乘以2：
$$
4x-2z-3=0
$$

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（6）
曲线由方程组给出：
$$
y=2x^{2},\quad z=3x+1
$$
点 $M(0,0,1)$。将 $x$ 视为参数，则
$$
x=x,\quad y=2x^{2},\quad z=3x+1
$$
求导：
$$
x'=1,\quad y'=4x,\quad z'=3
$$
在 $x=0$：
$$
x'=1,\quad y'=0,\quad z'=3
$$
切线方程：
$$
\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-1}{3}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot(x-0)+0\cdot(y-0)+3\cdot(z-1)=0
$$
化简：
$$
x+3z-3=0
$$

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（7）
曲线为两柱面交线：
$$
x^{2}+y^{2}=2,\quad x^{2}+z^{2}=2
$$
点 $M(1,1,1)$。对两方程全微分：
$$
2x\,dx+2y\,dy=0,\quad 2x\,dx+2z\,dz=0
$$
在点 $(1,1,1)$：
$$
2dx+2dy=0\Rightarrow dy=-dx,\quad 2dx+2dz=0\Rightarrow dz=-dx
$$
方向向量可取 $(1,-1,-1)$。
切线方程：
$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}
$$
法平面方程：
$$
1\cdot(x-1)-1\cdot(y-1)-1\cdot(z-1)=0
$$
化简：
$$
x-y-z+1=0
$$

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（8）
曲线为曲面与平面交线：
$$
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x=0,\quad G(x,y,z)=2x-3y+5z-4=0
$$
点 $M(1,1,1)$。梯度：
$$
\nabla F=(2x-3,2y,2z),\quad \nabla G=(2,-3,5)
$$
在点 $(1,1,1)$：
$$
\nabla F=(-1,2,2),\quad \nabla G=(2,-3,5)
$$
切线方向向量为两梯度叉积：
$$
\vec{T}= \nabla F\times \nabla G=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & 2 & 2 \\
2 & -3 & 5
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{T}=(2\cdot5 - 2\cdot(-3),\; 2\cdot2 - (-1)\cdot5,\; (-1)\cdot(-3)-2\cdot2)
$$