人邮高数 第7章 第7-1-16题
📝 题目
16．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们计算二重积分
$$
\iint_D |y - x^2| \, dx\,dy,
$$
其中区域
$$
D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\}.
$$
第一步：分析被积函数的符号变化
在区域 $D$ 内，函数 $y - x^2$ 的符号取决于 $y$ 与 $x^2$ 的大小关系。
曲线 $y = x^2$ 将区域分成两部分：
- 当 $y \ge x^2$ 时，$y - x^2 \ge 0$，此时 $|y - x^2| = y - x^2$；
- 当 $y < x^2$ 时，$y - x^2 < 0$，此时 $|y - x^2| = x^2 - y$。
第二步：将积分区域分解
对于固定的 $x \in [-1, 1]$，$y$ 从 0 到 1 变化。
曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0,1]$ 内，因此：
- 当 $0 \le y \le x^2$ 时，被积函数为 $x^2 - y$；
- 当 $x^2 \le y \le 1$ 时，被积函数为 $y - x^2$。
于是积分可写为：
$$
\iint_D |y - x^2| \, dx\,dy
= \int_{x=-1}^{1} \left[ \int_{y=0}^{x^2} (x^2 - y) \, dy + \int_{y=x^2}^{1} (y - x^2) \, dy \right] dx.
$$
**第三步：计算内层关于 $y$ 的积分**
先计算第一部分：
$$
\int_{0}^{x^2} (x^2 - y) \, dy
= \left[ x^2 y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x^2}
= x^2 \cdot x^2 - \frac{(x^2)^2}{2}
= x^4 - \frac{x^4}{2} = \frac{x^4}{2}.
$$
再计算第二部分：
$$
\int_{x^2}^{1} (y - x^2) \, dy
= \left[ \frac{y^2}{2} - x^2 y \right]_{x^2}^{1}
= \left( \frac{1}{2} - x^2 \right) - \left( \frac{x^4}{2} - x^4 \right)
= \frac{1}{2} - x^2 - \frac{x^4}{2} + x^4
= \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2}.
$$
两部分相加：
$$
\frac{x^4}{2} + \left( \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \right)
= \frac{1}{2} - x^2 + x^4.
$$
**第四步：对 $x$ 积分**
由于被积函数为偶函数（只含 $x^2$ 和 $x^4$），积分区间对称，故：
$$
\int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} - x^2 + x^4 \right) dx
= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} - x^2 + x^4 \right) dx.
$$
计算：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2},
\quad
\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3},
\quad
\int_{0}^{1} x^4 \, dx = \frac{1}{5}.
$$
因此：
$$
2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right)
= 2 \left( \frac{15}{30} - \frac{10}{30} + \frac{6}{30} \right)
= 2 \cdot \frac{11}{30}
= \frac{11}{15}.
$$
最终结果：
$$
\boxed{\dfrac{11}{15}}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及绝对值分段与简单二次积分，计算量较小，思路直接）