人邮高数 第7章 第7-1-22题
📝 题目
22．求半球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9(z \geqslant 0)$ 的体积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
半球体方程为 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9$ 且 $z \geqslant 0$，半径为 $R=3$。
体积可用三重积分计算，也可直接使用球体体积公式。
球体体积公式为
$$
V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^{3}
$$
代入 $R=3$，得
$$
V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi
$$
半球体积为球体的一半：
$$
V = \frac{1}{2} \cdot 36\pi = 18\pi
$$
若用积分验证，可在柱坐标下计算：
$$
V = \iiint\limits_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\,z\ge 0} \mathrm{d}V
= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{3} r\,\mathrm{d}r \int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}} \mathrm{d}z
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{9-r^{2}}} \mathrm{d}z = \sqrt{9-r^{2}}
$$
再对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\,\mathrm{d}r
= \left[-\frac{1}{3}(9-r^{2})^{3/2}\right]_{0}^{3}
= 0 - \left(-\frac{1}{3}\cdot 27\right) = 9
$$
最后乘以 $2\pi$：
$$
V = 2\pi \cdot 9 = 18\pi
$$
因此，半球体体积为
$$
\boxed{18\pi}
$$
难度：★☆☆☆☆