人邮高数 第7章 第7-1-9题
📝 题目
9．设 $f(x, y)$ 在 $D_{\rho}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}\right\}$ 上连续，求 $\displaystyle{\lim} _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\rho^{2}} \displaystyle{\iint_{D_{\rho}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求极限：
$$
\lim_{\rho \to 0^+} \frac{1}{\rho^2} \iint_{D_\rho} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma,
$$
其中 $ D_\rho = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 \le \rho^2 \} $，且 $ f(x,y) $ 在原点附近连续。
步骤1：利用积分中值定理
由于 $ f $ 在闭区域 $ D_\rho $ 上连续，由二重积分的中值定理，存在一点 $ (\xi, \eta) \in D_\rho $，使得
$$
\iint_{D_\rho} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \text{面积}(D_\rho).
$$
而圆盘面积 $ \text{面积}(D_\rho) = \pi \rho^2 $。
步骤2：代入表达式
于是
$$
\frac{1}{\rho^2} \iint_{D_\rho} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma
= \frac{1}{\rho^2} \cdot f(\xi, \eta) \cdot \pi \rho^2
= \pi f(\xi, \eta).
$$
步骤3：取极限
当 $ \rho \to 0^+ $ 时，点 $ (\xi, \eta) $ 趋于原点 $ (0,0) $，由 $ f $ 的连续性得
$$
\lim_{\rho \to 0^+} f(\xi, \eta) = f(0,0).
$$
因此极限值为
$$
\lim_{\rho \to 0^+} \frac{1}{\rho^2} \iint_{D_\rho} f(x,y) \, \mathrm{d}\sigma = \pi f(0,0).
$$
最终答案：
$$
\boxed{\pi f(0,0)}
$$
难度：★★☆☆☆