人邮高数 第7章 第7-2-2题

[AI解答]

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以下为各小题的详细计算过程。

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（1）
积分区域：由坐标面 $x=0, y=0, z=0$ 与平面 $x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 围成。
先对 $z$ 积分：
$$
0 \le z \le 3(1 - x - \frac{y}{2})
$$
再对 $y$：
$$
0 \le y \le 2(1-x)
$$
最后对 $x$：
$$
0 \le x \le 1
$$
所以
$$
\iiint_{\Omega} xy \, dv = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-x)} \int_{0}^{3(1 - x - y/2)} xy \, dz\, dy\, dx
$$
先对 $z$ 积分：
$$
= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-x)} xy \cdot 3(1 - x - \frac{y}{2}) \, dy\, dx
$$
对 $y$ 积分：
$$
= 3 \int_{0}^{1} x \left[ \int_{0}^{2(1-x)} y(1 - x - \frac{y}{2}) dy \right] dx
$$
计算内层：
令 $a = 1-x$，则
$$
\int_{0}^{2a} y(a - \frac{y}{2}) dy = \int_{0}^{2a} (a y - \frac{y^2}{2}) dy = a \cdot \frac{(2a)^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{(2a)^3}{3}
$$
$$
= a \cdot 2a^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8a^3}{3} = 2a^3 - \frac{4a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}
$$
代回 $a=1-x$，则
$$
= 3 \int_{0}^{1} x \cdot \frac{2(1-x)^3}{3} dx = 2 \int_{0}^{1} x (1-x)^3 dx
$$
展开：
$$
= 2 \int_{0}^{1} (x - 3x^2 + 3x^3 - x^4) dx = 2\left[ \frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \right]
$$
计算：
$$
\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2},\quad -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4},\quad \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}
$$
乘以 2 得 $\frac{1}{10}$。

答案： $\displaystyle \frac{1}{10}$

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（2）
区域：由 $x=1, y=x, y=-x, z=0, z=x$ 围成。
先对 $z$：$0 \le z \le x$。
再对 $y$：$-x \le y \le x$。
最后对 $x$：$0 \le x \le 1$。
所以
$$
\iiint x^2 y^2 dv = \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} \int_{0}^{x} x^2 y^2 \, dz\, dy\, dx
$$
先对 $z$：
$$
= \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} x^2 y^2 \cdot x \, dy\, dx = \int_{0}^{1} x^3 \int_{-x}^{x} y^2 dy\, dx
$$
由于 $y^2$ 为偶函数：
$$
\int_{-x}^{x} y^2 dy = 2 \int_{0}^{x} y^2 dy = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}
$$
于是
$$
= \int_{0}^{1} x^3 \cdot \frac{2x^3}{3} dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^6 dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{21}
$$

答案： $\displaystyle \frac{2}{21}$

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（3）
区域：$z=xy$，平面 $x=1, y=x, z=0$。
先对 $z$：$0 \le z \le xy$。
再对 $y$：$0 \le y \le x$（因为 $y=x$ 与 $y=0$ 及 $x$ 正向）。
最后对 $x$：$0 \le x \le 1$。
所以
$$
\iiint xyz \, dv = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{xy} xyz \, dz\, dy\, dx
$$
先对 $z$：
$$
= \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \cdot \frac{(xy)^2}{2} dy\, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x^3 y^3 dy\, dx
$$
对 $y$：
$$
= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^3 \cdot \frac{x^4}{4} dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{1} x^7 dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}
$$

答案： $\displaystyle \frac{1}{64}$

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（4）
上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，$z=0$。
用柱坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$，
$0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le \sqrt{1-r^2}$，
被积函数 $z^2$，体积元 $r\, dr\, d\theta\, dz$。
$$
\iiint z^2 dv = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-r^2}} z^2 \cdot r \, dz\, dr\, d\theta
$$
先对 $z$：
$$
= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \cdot \frac{(1-r^2)^{3/2}}{3} dr\, d\theta
$$
对 $\theta$：乘 $2\pi$，得
$$
= \frac{2\pi}{3} \int_{0}^{1} r (1-r^2)^{3/2} dr
$$
令 $u=1-r^2$，则 $du=-2r dr$，$r dr = -du/2$，
当 $r=0$ 时 $u=1$，$r=1$ 时 $u=0$，
$$
\int_{0}^{1} r(1-r^2)^{3/2} dr = \int_{1}^{0} u^{3/2} \cdot (-\frac{du}{2}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{3/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}
$$
所以结果为
$$
\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2\pi}{15}
$$

答案： $\displaystyle \frac{2\pi}{15}$

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（5）
球面 $x^2+y^2+z^2 = 2z$ 即 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$，球心 $(0,0,1)$，半径 1。
用球坐标：令
$$
x = r\sin\phi\cos\theta,\quad y = r\sin\phi\sin\theta,\quad z = 1 + r\cos\phi
$$
其中 $0\le r\le 1$，$0\le\phi\le\pi$，$0\le\theta\le 2\pi$，
被积函数 $z^2 = (1+r\cos\phi)^2$，体积元 $r^2\sin\phi\, dr\, d\phi\, d\theta$。
$$
\iiint z^2 dv = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (1+r