人邮高数 第7章 第7-2-5题
📝 题目
5．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们计算三重积分
$$
I = \displaystyle{\iiint}_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, \mathrm{d}v,
$$
其中区域 $\Omega$ 是由椭球面
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
$$
所围成的椭球体。
第一步：变量替换（广义球坐标）
令
$$
x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w,
$$
则椭球 $\Omega$ 变为单位球体
$$
u^2 + v^2 + w^2 \le 1.
$$
此变换的雅可比行列式为
$$
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc.
$$
于是积分变为
$$
I = \displaystyle{\iiint}_{u^2+v^2+w^2 \le 1} \big( a^2 u^2 + b^2 v^2 + c^2 w^2 \big) \cdot abc \; \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w.
$$
第二步：利用球坐标计算单位球上的积分
在单位球上采用球坐标：
$$
u = r\sin\theta\cos\varphi,\quad v = r\sin\theta\sin\varphi,\quad w = r\cos\theta,
$$
其中 $0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le \pi,\; 0 \le \varphi \le 2\pi$，体积元为
$$
\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w = r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
$$
于是
$$
I = abc \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \big( a^2 r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 r^2\cos^2\theta \big) r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
$$
第三步：分离变量并积分
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} r^4 \, \mathrm{d}r = \frac{1}{5}.
$$
于是
$$
I = \frac{abc}{5} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \big( a^2 \sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 \sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 \cos^2\theta \big) \sin\theta \; \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
$$
第四步：分别计算三个部分
- 第一项：
$$
a^2 \int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta.
$$
已知
$$
\int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi,
$$
$$
\int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi} (1-\cos^2\theta)\sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}.
$$
所以第一项贡献为
$$
a^2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi a^2}{3}.
$$
- 第二项：
$$
b^2 \int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta,
$$
其中
$$
\int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi,
$$
所以第二项贡献为
$$
\frac{4\pi b^2}{3}.
$$
- 第三项：
$$
c^2 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta.
$$
其中
$$
\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi,
$$
$$
\int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{2}{3}.
$$
所以第三项贡献为
$$
c^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi c^2}{3}.
$$
第五步：合并结果
三项相加得
$$
\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (\cdots) \sin\theta \, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2).
$$
因此
$$
I = \frac{abc}{5} \cdot \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2) = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2).
$$
最终结果为
$$
\boxed{I = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2)}.
$$
难度：★★★☆☆
（需要掌握广义球坐标变换、三重积分变量替换及球坐标下的计算技巧）