人邮高数 第7章 第7-2-9题
📝 题目
9．设函数 $f(z)$ 连续，将三次积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{1} f(z) \mathrm{d} z$ 用定积分表示．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们先将原积分写出：
$$
I = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} f(z) \, dz
$$
注意到被积函数 $f(z)$ 只依赖于 $z$，而积分区域由变量 $x, y, z$ 共同决定。我们先分析积分区域：
- $y$ 从 0 到 1；
- 对于固定的 $y$，$x$ 从 0 到 1；
- 对于固定的 $x$，$z$ 从 $x$ 到 1。
因此，积分区域为：
$$
0 \le y \le 1,\quad 0 \le x \le 1,\quad x \le z \le 1.
$$
由于 $y$ 的积分与 $x, z$ 完全独立，可以先对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} dy = 1.
$$
于是积分简化为：
$$
I = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} f(z) \, dz.
$$
现在考虑交换 $x$ 和 $z$ 的积分次序。原来的区域是：
$$
0 \le x \le 1,\quad x \le z \le 1.
$$
等价于：
$$
0 \le z \le 1,\quad 0 \le x \le z.
$$
因此：
$$
I = \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{z} f(z) \, dx.
$$
内层对 $x$ 积分，$f(z)$ 视为常数：
$$
\int_{0}^{z} f(z) \, dx = f(z) \cdot z.
$$
于是：
$$
I = \int_{0}^{1} z \, f(z) \, dz.
$$
所以原三次积分化为一个定积分：
$$
\boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} z f(z) \, dz}
$$
难度评级：★★☆☆☆