人邮高数 第7章 第7-3-4题

[AI解答]

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题目：计算曲线积分
$$
\displaystyle{\int}_{L} y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y
$$
其中 $L$ 分别为以下路径。

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（1）直线 $AB$：$A(1,1), B(2,3)$

直线参数方程：
从 $A$ 到 $B$，取参数 $t$，令
$$
x = 1 + t,\quad y = 1 + 2t,\quad t:0\to 1
$$
则
$$
\mathrm{d}x = \mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}y = 2\,\mathrm{d}t
$$
被积表达式：
$$
y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = (1+2t)\,\mathrm{d}t + (1+t)\cdot 2\,\mathrm{d}t
= (1+2t + 2 + 2t)\,\mathrm{d}t = (3 + 4t)\,\mathrm{d}t
$$
积分：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{1} (3+4t)\,\mathrm{d}t = \left[3t + 2t^{2}\right]_{0}^{1} = 3 + 2 = 5
$$

结果：$\displaystyle{\int}_{L} y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = 5$

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（2）抛物线 $AB$：$y = 2(x-1)^{2} + 1$，$A(1,1), B(2,3)$

取 $x$ 为参数，从 $1$ 到 $2$：
$$
y = 2(x-1)^2 + 1,\quad \mathrm{d}y = 4(x-1)\,\mathrm{d}x
$$
被积表达式：
$$
y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = \left[2(x-1)^2 + 1\right]\mathrm{d}x + x\cdot 4(x-1)\,\mathrm{d}x
$$
化简：
第一项：$2(x^2 - 2x + 1) + 1 = 2x^2 - 4x + 2 + 1 = 2x^2 - 4x + 3$
第二项：$4x(x-1) = 4x^2 - 4x$
相加得：
$$
(2x^2 - 4x + 3) + (4x^2 - 4x) = 6x^2 - 8x + 3
$$
积分：
$$
\displaystyle{\int}_{1}^{2} (6x^2 - 8x + 3)\,\mathrm{d}x
= \left[2x^3 - 4x^2 + 3x\right]_{1}^{2}
$$
计算：
在 $x=2$：$2\cdot 8 - 4\cdot 4 + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$
在 $x=1$：$2 - 4 + 3 = 1$
差值为 $6 - 1 = 5$

结果：$\displaystyle{\int}_{L} y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = 5$

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（3）折线 $ADB$：$A(1,1), D(2,1), B(2,3)$

分为两段：

第一段 $AD$：从 $(1,1)$ 到 $(2,1)$，水平线，$y=1$ 常数，$\mathrm{d}y=0$
$$
\displaystyle{\int}_{AD} y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = \displaystyle{\int}_{1}^{2} 1 \,\mathrm{d}x = 1
$$

第二段 $DB$：从 $(2,1)$ 到 $(2,3)$，竖直线，$x=2$ 常数，$\mathrm{d}x=0$
$$
\displaystyle{\int}_{DB} y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = \displaystyle{\int}_{1}^{3} 2 \,\mathrm{d}y = 2\cdot (3-1) = 4
$$

相加：
$$
1 + 4 = 5
$$

结果：$\displaystyle{\int}_{L} y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = 5$

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结论

三种路径积分值均为 $5$，说明该积分与路径无关（事实上被积表达式是恰当微分 $d(xy)$）。

难度评级：★☆☆☆☆