人邮高数 第7章 第7-4-2题
📝 题目
2．计算下列对坐标的曲面积分．
（1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的下半部分的下侧；
（2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(y+1)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧在 $x \geqslant 0$ 的部分；
（3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧；
（4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限部分的上侧；
（5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 截取的在第一卦限的部分的前侧；
（6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $z=1$ 截取的在第一卦限的部分的前侧；
（7） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \leqslant 1$ 的那一部分的下侧；
（8）$\oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a$ ， $0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c\}$ 整个边界面的外侧；
（9）$\oiint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是三个坐标面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的空间闭区域的整个边界面的外侧；
（10）$\oiint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}$ 的外侧；
（11）$\oiint_{\Sigma}-y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $z=0, x+z=2$ 所截的部分的外侧；
（12）$\displaystyle \oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧；
（13）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球壳 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 的外侧．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答过程。
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(1)
曲面：球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 下半部分下侧。
投影到 $xOy$ 平面：$D_{xy}: x^2+y^2 \le a^2$，下侧取负号。
曲面方程：$z = -\sqrt{a^2-x^2-y^2}$。
则
$$
\iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \, dxdy = -\iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \left(-\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right) dxdy
= \iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \sqrt{a^2-x^2-y^2} \, dxdy
$$
用极坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，$dxdy = r dr d\theta$，
$$
= \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_{0}^{a} r^4 \sqrt{a^2-r^2} \, r dr
$$
注意 $r^4 \cdot r = r^5$，令 $t = a^2 - r^2$，则 $r^2 = a^2 - t$，$r dr = -\frac12 dt$，
$$
\int_0^a r^5 \sqrt{a^2-r^2} dr = \int_{a^2}^0 (a^2-t)^{2} \sqrt{t} \cdot \left(-\frac12 dt\right)
= \frac12 \int_0^{a^2} (a^4 - 2a^2 t + t^2) t^{1/2} dt
$$
$$
= \frac12 \left( a^4 \cdot \frac{2}{3} a^3 - 2a^2 \cdot \frac{2}{5} a^5 + \frac{2}{7} a^7 \right)
= \frac12 \left( \frac{2}{3} a^7 - \frac{4}{5} a^7 + \frac{2}{7} a^7 \right)
= \frac12 a^7 \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7} \right)
$$
通分：公分母105，分子：$70 - 84 + 30 = 16$，所以
$$
= \frac12 a^7 \cdot \frac{16}{105} = \frac{8}{105} a^7
$$
角度部分：$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \frac14 \int_0^{2\pi} \sin^2 2\theta d\theta = \frac14 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$。
因此结果为
$$
\boxed{\frac{2\pi}{105} a^7}
$$
难度：★★★☆☆
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(2)
曲面：球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧在 $x\ge 0$ 部分。
投影到 $yOz$ 平面：$D_{yz}: y^2+z^2 \le 1$，取 $x = \sqrt{1-y^2-z^2}$，外侧对应 $x$ 正方向，故取正号。
$$
\iint_{\Sigma} (y+1)^2 dy dz = \iint_{D_{yz}} (y+1)^2 \, dy dz
$$
用极坐标：$y = r\cos\theta, z = r\sin\theta$，$0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi$，
$$
= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r\cos\theta+1)^2 r dr d\theta
$$
展开：$(r\cos\theta+1)^2 = r^2\cos^2\theta + 2r\cos\theta + 1$，乘以 $r$ 得 $r^3\cos^2\theta + 2r^2\cos\theta + r$。
对 $\theta$ 积分：
$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \pi$，$\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi$。
于是
$$
= \pi \int_0^1 r^3 dr + 2\pi \int_0^1 r dr = \pi \cdot \frac14 + 2\pi \cdot \frac12 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}
$$
结果为
$$
\boxed{\frac{5\pi}{4}}
$$
难度：★★☆☆☆
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(3)
曲面：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $z=1$ 截取下侧。
投影到 $xOy$：$D_{xy}: x^2+y^2\le 1$，下侧取负号。
$$
\iint_{\Sigma} z^2 dxdy = -\iint_{D_{xy}} (x^2+y^2) dxdy
$$
极坐标：
$$
= -\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r dr = -2\pi \cdot \frac14 = -\frac{\pi}{2}
$$
结果为
$$
\boxed{-\frac{\pi}{2}}
$$
难度：★☆☆☆☆
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