人邮高数 第7章 第7-5-5题
📝 题目
5．证明：$\displaystyle \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 在 $x O y$ 面内除去 $y$ 轴的负半轴及原点 $O$ 后的区域 $G$ 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：判断是否为全微分
设
$$
P(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}, \quad Q(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{x}{x^2+y^2} \right)
= x \cdot \frac{-2y}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{y}{x^2+y^2} \right)
= y \cdot \frac{-2x}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
$$
因此在区域 $G$ 内（除去 $y$ 轴负半轴及原点，该区域是单连通的）有
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},
$$
故该微分形式是某个二元函数的全微分。
第二步：求原函数
设
$$
\mathrm{d}u = \frac{x\,\mathrm{d}x + y\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}.
$$
考虑极坐标变换：
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r>0,
$$
则
$$
x\,\mathrm{d}x + y\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r,\quad x^2+y^2 = r^2,
$$
于是
$$
\mathrm{d}u = \frac{r\,\mathrm{d}r}{r^2} = \frac{\mathrm{d}r}{r}.
$$
积分得
$$
u = \ln r + C = \ln\sqrt{x^2+y^2} + C.
$$
取 $C=0$，得到一个原函数
$$
u(x,y) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2).
$$
由于区域 $G$ 排除了 $y$ 轴负半轴，可定义连续单值分支。
第三步：结论
因此，
$$
\frac{x\,\mathrm{d}x + y\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}
$$
在区域 $G$ 内是函数
$$
\boxed{u(x,y)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2)}
$$
的全微分。
难度：★★☆☆☆