人邮高数 第1章 第1-7-3题
📝 题目
3．下列函数在指出的点处是否间断？如果间断，说明这些间断点属于哪一类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其连续．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ；
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=0, x=\frac{\pi}{2}, x=\pi$ ；
（3）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$ ；
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}, x=0$ ；
（5）$\displaystyle f(x)=\sin x \cos \frac{1}{x}, x=0$ ；
（6）$\displaystyle f(x)=\ln (1+k x)^{\frac{m}{x}}, k, m \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, x=0, x=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下是对各小题的详细解答。
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（1）
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$
解：
首先分解因式：
$$
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.
$$
- 在 $x=1$ 处：分子分母有公因子 $(x-1)$，可约去，得
$$
\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x-2}=\frac{2}{-1}=-2,
$$
但 $f(1)$ 无定义，因此 $x=1$ 为可去间断点。补充定义 $f(1)=-2$ 可使函数在该点连续。
- 在 $x=2$ 处：分母为零，分子为 $3\neq 0$，故
$$
\lim_{x\to 2}f(x)=\infty,
$$
因此 $x=2$ 为无穷间断点（第二类间断点）。
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（2）
$f(x)=\dfrac{x}{\tan x}, x=0, x=\dfrac{\pi}{2}, x=\pi$
解：
- 在 $x=0$ 处：利用 $\tan x \sim x$（$x\to 0$），得
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1,
$$
但 $f(0)$ 无定义，故为可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 可使函数连续。
- 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处：$\tan x\to\infty$，故
$$
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}=0,
$$
但 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 无定义，因此为可去间断点。补充定义 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 可使连续。
- 在 $x=\pi$ 处：$\tan \pi=0$，分子 $x=\pi\neq 0$，故
$$
\lim_{x\to \pi}\frac{x}{\tan x}=\infty,
$$
为无穷间断点（第二类）。
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（3）
$f(x)=\begin{cases} x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x>1, \end{cases} \quad x=1$
解：
计算左右极限：
$$
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x-1)=0,
$$
$$
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2.
$$
左右极限不相等，故 $x=1$ 为跳跃间断点（第一类）。
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（4）
$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}, x=0$
解：
有理化分子：
$$
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
=\frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}
=\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}
=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.
$$
因此
$$
\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{2}{1+1}=1,
$$
但 $f(0)$ 无定义，故为可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 可使连续。
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（5）
$f(x)=\sin x \cos \dfrac{1}{x}, x=0$
解：
由于 $|\cos(1/x)|\leq 1$，且 $\lim_{x\to 0}\sin x=0$，由夹逼定理：
$$
\lim_{x\to 0}f(x)=0.
$$
但 $f(0)$ 无定义，故为可去间断点。补充定义 $f(0)=0$ 可使连续。
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（6）
$\displaystyle f(x)=\ln (1+k x)^{\frac{m}{x}}, k, m \in \mathbb{R}\setminus\{0\}, x=0, x=1$
解：
首先化简：
$$
f(x)=\frac{m}{x}\ln(1+kx).
$$
- 在 $x=0$ 处：利用 $\ln(1+kx)\sim kx$（$x\to 0$），得
$$
\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{m}{x}\cdot kx = mk,
$$
但 $f(0)$ 无定义，故为可去间断点。补充定义 $f(0)=mk$ 可使连续。
- 在 $x=1$ 处：函数表达式为
$$
f(1)=m\ln(1+k),
$$
只要 $1+k>0$ 且 $k\neq 0$，函数在该点有定义且连续。若 $1+k\leq 0$，则函数无定义，为第二类间断点（对数无意义）。题目未指定 $k$ 范围，通常认为 $k>-1$ 时 $x=1$ 为连续点；若 $k\leq -1$，则为无穷间断点（因对数无定义）。
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总结答案：
（1）$x=1$ 可去，补充 $f(1)=-2$；$x=2$ 无穷间断。
（2）$x=0$ 可去，补充 $f(0)=1$；$x=\pi/2$ 可去，补充 $f(\pi/2)=0$；$x=\pi$ 无穷间断。
（3）$x=1$ 跳跃间断。
（4）$x=0$ 可去，补充 $f(0)=1$。
（5）$x=0$ 可去，补充 $f(0)=0$。
（6）$x=0$ 可去，补充 $f(0)=mk$；$x=1$ 当 $k>-1$ 时连续，否则为第二类间断。