人邮高数 第7章 第7-5-8题
📝 题目
8．求 $\oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$的边界曲面的外侧。
💡 答案解析
[AI解答]
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本题要求计算第二类曲面积分：
$$
\oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$ 的边界曲面的外侧。
步骤1：确定区域形状
曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是开口向上的圆锥面，顶点在原点；
曲面 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 是开口向下的圆锥面，顶点在 $(0,0,2)$。
两曲面相交时：
$$
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2-\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1
$$
此时 $z=1$，所以交线为平面 $z=1$ 上的圆 $x^{2}+y^{2}=1$。
因此 $\Omega$ 是上下两个圆锥面夹成的封闭区域，形状类似“纺锤体”。
步骤2：应用高斯公式
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中：
$$
P = y^{2},\quad Q = x^{2},\quad R = z^{2}
$$
高斯公式（散度定理）给出：
$$
\oiint_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
= \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V
$$
计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z
$$
因此：
$$
\oiint_{\Sigma} \cdots = \iiint_{\Omega} 2z \,\mathrm{d}V
$$
步骤3：用柱坐标计算三重积分
在柱坐标下：$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$，体积元 $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$。
区域 $\Omega$ 在 $z$ 方向的下边界是 $z = r$（下锥面），上边界是 $z = 2 - r$（上锥面），且 $r$ 从 $0$ 到交线半径 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
于是：
$$
\iiint_{\Omega} 2z \,\mathrm{d}V
= \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \mathrm{d}r \int_{z=r}^{z=2-r} 2z \cdot r \,\mathrm{d}z
$$
步骤4：逐层积分
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{z=r}^{2-r} 2z \,\mathrm{d}z = \left[ z^{2} \right]_{z=r}^{2-r} = (2-r)^{2} - r^{2} = (4 - 4r + r^{2}) - r^{2} = 4 - 4r
$$
乘以 $r$ 得：
$$
\int_{z=r}^{2-r} 2z r \,\mathrm{d}z = r(4 - 4r) = 4r - 4r^{2}
$$
再对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} (4r - 4r^{2}) \,\mathrm{d}r = \left[ 2r^{2} - \frac{4}{3}r^{3} \right]_{0}^{1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}
$$
最后对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} \,\mathrm{d}\theta = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
$$
步骤5：得出结果
因此原积分为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{4\pi}{3}}
$$
难度评级：★★★☆☆
（需要识别封闭曲面、应用高斯公式、正确确定积分区域并计算三重积分，有一定综合性，但计算量不大。）