人邮高数 第7章 第7-5-*18题
📝 题目
＊18．求向量场 $\boldsymbol{A}=x y \boldsymbol{i}+\cos (x y) \boldsymbol{j}+\cos (x z) \boldsymbol{k}$ 的散度．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
向量场
$$
\boldsymbol{A} = x y \,\boldsymbol{i} + \cos(xy) \,\boldsymbol{j} + \cos(xz) \,\boldsymbol{k}
$$
的散度定义为
$$
\operatorname{div} \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},
$$
其中
$$
P = xy,\quad Q = \cos(xy),\quad R = \cos(xz).
$$
分别计算偏导数：
1. 对 $P = xy$ 关于 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = y.
$$
2. 对 $Q = \cos(xy)$ 关于 $y$ 求偏导（此时 $x$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial Q}{\partial y} = -x \sin(xy).
$$
3. 对 $R = \cos(xz)$ 关于 $z$ 求偏导（此时 $x$ 视为常数）：
$$
\frac{\partial R}{\partial z} = -x \sin(xz).
$$
因此散度为
$$
\operatorname{div} \boldsymbol{A} = y - x\sin(xy) - x\sin(xz).
$$
难度：★☆☆☆☆
（仅需直接应用散度定义，计算简单偏导，无复杂运算）