人邮高数 第8章 第8-1-7题
📝 题目
7．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和．
（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}$ ；
（2）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
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（1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}}$
第一步：写出通项并化简
通项为
$$
a_n = (-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}} = (-1)^{n-1} \left( \frac{\mathrm{e}}{3} \right)^n
$$
由于 $\frac{\mathrm{e}}{3} \approx 0.906$，绝对值小于1，因此这是一个公比 $q = -\frac{\mathrm{e}}{3}$ 的等比级数，且 $|q| < 1$，级数收敛。
第二步：求和
等比级数求和公式：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{\mathrm{e}}{3} \right)^n
= \frac{\text{首项}}{1 - \text{公比}}
$$
首项为 $n=1$ 时：
$$
a_1 = (-1)^{0} \frac{\mathrm{e}}{3} = \frac{\mathrm{e}}{3}
$$
公比 $q = -\frac{\mathrm{e}}{3}$，因此
$$
S = \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{1 - \left(-\frac{\mathrm{e}}{3}\right)}
= \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{1 + \frac{\mathrm{e}}{3}}
= \frac{\frac{\mathrm{e}}{3}}{\frac{3+\mathrm{e}}{3}}
= \frac{\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}
$$
结论： 级数收敛，和为 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{3+\mathrm{e}}$。
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（2）$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}}$
第一步：裂项
$$
\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)
$$
验证：
$$
\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - (n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{(n-1)(n+1)}
$$
因此原式成立。
第二步：写出部分和
$$
S_N = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{(n-1)(n+1)}
= \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)
$$
展开：
$$
= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1} \right) \right]
$$
可见中间项 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{N-1}$ 均会抵消，剩下：
$$
S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \right)
$$
第三步：取极限
$$
\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}
$$
结论： 级数收敛，和为 $\displaystyle \frac{3}{4}$。
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察等比级数与裂项求和的基础方法，计算量小，步骤清晰。）