人邮高数 第8章 第8-1-9题

[AI解答]

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本题要求针对原级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛或发散两种情况，分别讨论三个新级数的敛散性。

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（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+10^{-10}\right)$

情况一：原级数收敛
若 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。
新级数的通项为 $u_n + 10^{-10}$，当 $n\to\infty$ 时，
$$
\lim_{n\to\infty} (u_n + 10^{-10}) = 0 + 10^{-10} = 10^{-10} \neq 0
$$
由级数收敛的必要条件（通项趋于零）可知，该级数发散。

情况二：原级数发散
若原级数发散，则 $\lim_{n\to\infty} u_n$ 可能不存在或不为零。
但无论 $u_n$ 如何，$u_n + 10^{-10}$ 的极限同样不可能为零（因为常数项 $10^{-10}$ 存在），因此该级数仍然发散。

结论：无论原级数收敛或发散，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+10^{-10}\right)$ 总是发散。

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（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$

这是原级数去掉前1000项后剩下的部分。

情况一：原级数收敛
若 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则去掉有限项不影响收敛性，故 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 也收敛。

情况二：原级数发散
若原级数发散，去掉有限项同样不改变发散性，故该级数也发散。

结论：$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 与原级数敛散性相同。

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（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_{n}}\quad (u_n \neq 0)$

情况一：原级数收敛
若 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。
于是 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{u_n}$ 的绝对值趋于无穷大（除非 $u_n$ 恒为0，但题设 $u_n\neq0$），因此通项不趋于零，新级数发散。

情况二：原级数发散
此时原级数发散的原因可能很多，例如 $u_n$ 不趋于零，或 $u_n$ 振荡。
- 若 $u_n$ 不趋于零（例如 $u_n=1$），则 $\displaystyle \frac{1}{u_n}$ 也不趋于零，新级数发散。
- 若 $u_n$ 趋于零但级数发散（例如 $\displaystyle u_n = \frac{1}{n}$），则 $\displaystyle \frac{1}{u_n}=n$ 趋于无穷，新级数显然发散。
- 若 $u_n$ 振荡且有时接近零，则 $\displaystyle \frac{1}{u_n}$ 无界，通项不趋于零，级数发散。

因此，无论原级数发散的具体原因如何，新级数总是发散。

结论：$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_n}$ 总是发散。

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最终答案汇总：
1. 总是发散
2. 与原级数敛散性相同
3. 总是发散

难度：★★☆☆☆