人邮高数 第8章 第8-2-4题

[AI解答]

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根值判别法：对于正项级数 $\sum u_n$，令 $\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}$，若 $\rho < 1$ 则收敛，$\rho > 1$ 则发散，$\rho = 1$ 则失效。

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（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$

计算：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}}
$$
取极限：
$$
\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2} < 1
$$
故级数收敛。

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（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$

计算：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{1}{\ln(n+1)}
$$
取极限：
$$
\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 < 1
$$
故级数收敛。

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（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n+1}\right)^{2 n}$

计算：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n+1}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3 + \frac{1}{n}}\right)^{2}
$$
取极限：
$$
\rho = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3 + \frac{1}{n}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9} < 1
$$
故级数收敛。

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（4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n^{n}}}$

先改写：
$$
u_n = \frac{2^n}{n^{n/2}} = \left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n}
$$
则：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{2}{\sqrt{n}}
$$
取极限：
$$
\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0 < 1
$$
故级数收敛。

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（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}{3^{n}}$

计算：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{3}
$$
已知 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e}$，所以：
$$
\rho = \frac{e}{3} \approx 0.906 < 1
$$
故级数收敛。

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（6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}, a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a \in \mathbf{R}^{+}}$

计算：
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a_n}
$$
取极限：
$$
\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{b}{a_n} = \frac{b}{a}
$$
由根值判别法：
- 若 $\frac{b}{a} < 1$，即 $b < a$，则级数收敛；
- 若 $\frac{b}{a} > 1$，即 $b > a$，则级数发散；
- 若 $\frac{b}{a} = 1$，即 $b = a$，则判别法失效，需另作判断。

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难度评级：★★☆☆☆
（均为直接应用根值判别法，计算简单，仅第(6)题需讨论参数）