人邮高数 第8章 第8-2-9题

[AI解答]

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题目
设 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n} = q} \quad (a_n > 0)$，证明级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 当 $q > 1$ 时收敛，当 $q < 1$ 时发散。

证明
由已知极限条件：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = q.
$$
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有
$$
q - \varepsilon < \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} < q + \varepsilon.
$$
由于 $\ln n > 0$（当 $n \ge 2$），两边乘以 $\ln n$ 得
$$
(q - \varepsilon)\ln n < \ln\frac{1}{a_n} < (q + \varepsilon)\ln n.
$$
即
$$
\ln n^{-(q-\varepsilon)} < \ln\frac{1}{a_n} < \ln n^{-(q+\varepsilon)}.
$$
利用对数函数的单调性，可得
$$
n^{-(q-\varepsilon)} < \frac{1}{a_n} < n^{-(q+\varepsilon)}.
$$
取倒数（注意 $a_n > 0$），不等号方向反转：
$$
n^{q+\varepsilon} > \frac{1}{a_n} > n^{q-\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad n^{-(q+\varepsilon)} < a_n < n^{-(q-\varepsilon)}.
$$

**情况1：$q > 1$**
取 $\varepsilon = \frac{q-1}{2} > 0$，则 $q - \varepsilon = \frac{q+1}{2} > 1$。
于是当 $n$ 充分大时，有
$$
0 < a_n < n^{-(q-\varepsilon)} = n^{-\frac{q+1}{2}}.
$$
而级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\frac{q+1}{2}}}$ 是 $p$-级数，且 $p = \frac{q+1}{2} > 1$，因此收敛。由比较判别法，$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 收敛。

**情况2：$q < 1$**
取 $\varepsilon = \frac{1-q}{2} > 0$，则 $q + \varepsilon = \frac{q+1}{2} < 1$。
于是当 $n$ 充分大时，有
$$
a_n > n^{-(q+\varepsilon)} = n^{-\frac{q+1}{2}}.
$$
而级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\frac{q+1}{2}}}$ 是 $p$-级数，且 $p = \frac{q+1}{2} < 1$，因此发散。由比较判别法，$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 发散。

结论
当 $q > 1$ 时级数收敛，当 $q < 1$ 时级数发散。
（当 $q = 1$ 时，本判别法无法确定，需其他方法。）

难度评级：★★★☆☆