人邮高数 第8章 第8-3-6题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题的幂级数展开及收敛区间。

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（1）$ a^x $

利用指数函数展开：
$$
a^x = e^{x\ln a} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln a)^n}{n!}
$$
收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。

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（2）$ e^{-x^2} $

由 $ e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} $，令 $ t = -x^2 $：
$$
e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}
$$
收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。

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（3）$ \frac{1}{x^2 - 3x + 2} $

因式分解：
$$
\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}
$$
改写为：
$$
= -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} + \frac{1}{1-x}
$$
展开：
$$
= -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n
= \sum_{n=0}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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（4）$ \frac{1}{1+x^2} $

由几何级数：
$$
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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（5）$ \ln(1+x) $

已知展开：
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}
$$
收敛区间为 $ -1 < x \le 1 $。

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（6）$ \frac{1}{(1-x)^2} $

由 $ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $，逐项求导：
$$
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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（7）$ \cos^2 x $

利用恒等式：
$$
\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}
$$
而
$$
\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}
$$
所以
$$
\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!}
$$
收敛区间为 $ (-\infty, +\infty) $。

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（8）$ \frac{x^4}{1-x} $

$$
\frac{x^4}{1-x} = x^4 \cdot \frac{1}{1-x} = x^4 \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=4}^{\infty} x^n
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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（9）$ \frac{x}{1-x^2} $

$$
\frac{x}{1-x^2} = x \cdot \frac{1}{1-x^2} = x \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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（10）$ \frac{x}{4+x^2} $

改写：
$$
\frac{x}{4+x^2} = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x^2}{4}\right)^n
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^{n+1}} x^{2n+1}
$$
收敛区间为 $ |x|<2 $。

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（11）$ (x+1)(\ln(1+x)-1) $

先展开 $\ln(1+x)$：
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}
$$
所以
$$
\ln(1+x)-1 = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}
$$
乘以 $x+1$：
$$
(x+1)(\ln(1+x)-1) = (x+1)\left(-1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\right)
$$
展开并整理：
$$
= -x -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n+1}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}
$$
合并同次幂可得最终级数，收敛区间为 $ -1 < x \le 1 $。

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（12）$ \arctan \frac{4+x^2}{4-x^2} $

注意恒等式：
$$
\arctan \frac{4+x^2}{4-x^2} = \frac{\pi}{4} + \arctan\frac{x^2}{4}
$$
（可通过正切加法公式验证）
于是：
$$
\arctan\frac{x^2}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2n+1}
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}
$$
因此原式 = $\frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)4^{2n+1}} x^{4n+2}$，收敛区间为 $|x|<2$。

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（13）$ \ln \frac{1+x}{1-x} $

利用对数性质：
$$
\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x)
$$
展开：
$$
= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-x^n}{n}
= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}+1}{n} x^n
$$
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n-1}+1 = 2$；偶数时为 0，所以：
$$
= 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}
$$
收敛区间为 $ |x|<1 $。

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难度评级：★★★☆☆
（涉及多种函数展开技巧，部分小题需要代数变形或恒等式，但整体思路常规。）