人邮高数 第8章 第8-4-7题

[AI解答]

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题目：
设在区间 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 为可积的偶函数，且满足
$$
f\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -f\left(\frac{\pi}{2}-x\right),
$$
证明在 $f(x)$ 的傅里叶展开式中系数 $a_{2n}=0$。

证明：
由于 $f(x)$ 是偶函数，其傅里叶级数只含余弦项，系数为
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \displaystyle{\int_{0}^{\pi}} f(x) \cos(nx) \, dx.
$$

我们要证明当 $n$ 为偶数时，$a_n = 0$。
令 $n = 2k$，考虑
$$
a_{2k} = \frac{2}{\pi} \displaystyle{\int_{0}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx.
$$

将积分区间 $[0,\pi]$ 分成两段：$\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$ 和 $\displaystyle [\frac{\pi}{2},\pi]$，即
$$
a_{2k} = \frac{2}{\pi} \left( \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx + \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx \right).
$$

对第二个积分作变量代换：令 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + t$，则当 $x$ 从 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，且 $dx = dt$。于是
$$
\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}+t\right) \cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}+t\right)\right) dt.
$$

利用三角恒等式：
$$
\cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}+t\right)\right) = \cos(k\pi + 2k t) = (-1)^k \cos(2k t).
$$

而由已知条件：
$$
f\left(\frac{\pi}{2}+t\right) = -f\left(\frac{\pi}{2}-t\right).
$$

因此第二个积分变为
$$
\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \left[-f\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right] \cdot (-1)^k \cos(2k t) \, dt = (-1)^{k+1} \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt.
$$

再对上述积分作变量代换 $\displaystyle u = \frac{\pi}{2} - t$，则 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2} - u$，$dt = -du$，当 $t=0$ 时 $\displaystyle u=\frac{\pi}{2}$，当 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$，于是
$$
\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt = \displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}} f(u) \cos\left(2k\left(\frac{\pi}{2}-u\right)\right) (-du) = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(k\pi - 2k u) \, du.
$$

又因为
$$
\cos(k\pi - 2k u) = \cos(k\pi)\cos(2k u) + \sin(k\pi)\sin(2k u) = (-1)^k \cos(2k u),
$$

所以
$$
\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos(2k t) \, dt = (-1)^k \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du.
$$

代回第二个积分表达式：
$$
\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}} f(x) \cos(2k x) \, dx = (-1)^{k+1} \cdot (-1)^k \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du = -\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(u) \cos(2k u) \, du.
$$

因此，
$$
a_{2k} = \frac{2}{\pi} \left( \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx - \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}} f(x) \cos(2k x) \, dx \right) = 0.
$$

这就证明了所有偶数下标余弦系数 $a_{2n}=0$。

难度评级：★★★☆☆
（需要分段积分、变量代换及三角恒等变换，思路清晰但步骤较多）