人邮高数 第8章 第8-4-9题

[AI解答]

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已知 $ f(x) $ 是以 $ 2\pi $ 为周期的函数，其傅里叶系数为：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt.
$$

定义函数：
$$
F(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) f(x+t) \, dt.
$$

我们的目标是将其展开为傅里叶级数。

**第一步：写出 $ f(x) $ 的傅里叶级数形式**

因为 $ f $ 以 $ 2\pi $ 为周期，可设：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).
$$

**第二步：将 $ f(x+t) $ 用傅里叶级数表示**

对固定的 $ x $，视 $ t $ 为变量，有：
$$
f(x+t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(n(x+t)) + b_n \sin(n(x+t)) \big).
$$

利用三角恒等式：
$$
\cos(n(x+t)) = \cos(nx)\cos(nt) - \sin(nx)\sin(nt),
$$
$$
\sin(n(x+t)) = \sin(nx)\cos(nt) + \cos(nx)\sin(nt).
$$

因此：
$$
f(x+t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \cos(nt) + (-a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx)) \sin(nt) \Big].
$$

**第三步：代入 $ F(x) $ 并交换积分与求和次序**

$$
F(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( A_n(x) \cos(nt) + B_n(x) \sin(nt) \big) \right] dt,
$$
其中：
$$
A_n(x) = a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx),
$$
$$
B_n(x) = -a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx).
$$

交换积分与求和（假设满足一致收敛条件）：
$$
F(x) = \frac{a_0}{2} \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n(x) \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt + B_n(x) \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt \right].
$$

第四步：利用傅里叶系数定义化简

由定义：
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt = a_0,
$$
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt = a_n,
$$
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt = b_n.
$$

于是：
$$
F(x) = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big[ A_n(x) a_n + B_n(x) b_n \big].
$$

代入 $ A_n(x), B_n(x) $：
$$
A_n(x) a_n + B_n(x) b_n = (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) a_n + (-a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx)) b_n.
$$

化简：
$$
= a_n^2 \cos(nx) + a_n b_n \sin(nx) - a_n b_n \sin(nx) + b_n^2 \cos(nx) = (a_n^2 + b_n^2) \cos(nx).
$$

第五步：得到最终傅里叶级数展开

因此：
$$
F(x) = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \cos(nx).
$$

这就是 $ F(x) $ 的傅里叶级数展开，它只含有余弦项，且系数为 $ a_n^2 + b_n^2 $。

难度评级：★★★☆☆
（需要熟悉傅里叶级数展开、三角恒等式、交换积分次序，但步骤清晰，计算不复杂）