人邮高数 第1章 第1-7-9题
📝 题目
9．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其所属类型．
（1）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ；
（2）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ ．
💡 答案解析
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习题1-7 第9题解答
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（1）$f(x)=\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$
第一步：分析极限表达式
考虑极限
$$
f(x) = x \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}.
$$
令 $t = x^2$，则 $x^{2n} = (x^2)^n = t^n$。需要分情况讨论 $|x|$ 的大小。
第二步：分情况求极限
- 当 $|x|<1$ 时，$x^{2n} \to 0$，于是
$$
\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}} \to \frac{1-0}{1+0}=1,
$$
所以 $f(x)=x\cdot 1 = x$。
- 当 $|x|=1$ 时，$x^{2n}=1$，则
$$
\frac{1-1}{1+1}=0,
$$
所以 $f(x)=x\cdot 0 = 0$。
- 当 $|x|>1$ 时，$x^{2n} \to \infty$，分子分母同除以 $x^{2n}$：
$$
\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}} = \frac{\frac{1}{x^{2n}}-1}{\frac{1}{x^{2n}}+1} \to \frac{0-1}{0+1} = -1,
$$
所以 $f(x)=x\cdot (-1) = -x$。
因此函数为分段形式：
$$
f(x)=
\begin{cases}
x, & |x|<1,\\
0, & |x|=1,\\
-x, & |x|>1.
\end{cases}
$$
第三步：讨论连续性
- 在 $|x|<1$ 时，$f(x)=x$ 连续；
- 在 $|x|>1$ 时，$f(x)=-x$ 连续；
- 在 $x=1$ 处：
$$
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x = 1,\quad
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (-x) = -1,
$$
左右极限不相等，且 $f(1)=0$，故 $x=1$ 为第一类跳跃间断点。
- 在 $x=-1$ 处：
$$
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-} (-x)=1,\quad
\lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+} x = -1,
$$
左右极限不相等，且 $f(-1)=0$，故 $x=-1$ 也为第一类跳跃间断点。
结论（1）：函数在 $x=\pm 1$ 处为第一类跳跃间断点，其余点连续。
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（2）$f(x)=\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$
第一步：分析极限
考虑
$$
f(x)=\lim_{n\to\infty} (1+x^{2n})^{1/n}.
$$
同样分 $|x|$ 的情况。
第二步：分情况
- 当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}\to 0$，则 $1+x^{2n}\to 1$，于是
$$
(1+x^{2n})^{1/n} \to 1^{0}=1.
$$
更严格：$1 \le 1+x^{2n} \le 2$，开 $n$ 次方后极限为 $1$。
- 当 $|x|=1$ 时，$x^{2n}=1$，则 $1+1=2$，于是
$$
f(x)=\lim_{n\to\infty} 2^{1/n}=1.
$$
- 当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}\to\infty$，提取 $x^{2n}$：
$$
1+x^{2n}=x^{2n}\left(1+\frac{1}{x^{2n}}\right),
$$
则
$$
(1+x^{2n})^{1/n} = (x^{2n})^{1/n} \cdot \left(1+\frac{1}{x^{2n}}\right)^{1/n}
= x^2 \cdot \left(1+\frac{1}{x^{2n}}\right)^{1/n}.
$$
由于 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{x^{2n}}\right)^{1/n} \to 1$（因为底数趋于1，指数趋于0），所以
$$
f(x)=x^2.
$$
因此：
$$
f(x)=
\begin{cases}
1, & |x|\le 1,\\
x^2, & |x|>1.
\end{cases}
$$
第三步：讨论连续性
- 在 $|x|<1$ 时，$f(x)=1$ 连续；
- 在 $|x|>1$ 时，$f(x)=x^2$ 连续；
- 在 $x=1$ 处：
$$
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1,\quad \lim_{x\to 1^+} f(x)=1^2=1,\quad f(1)=1,
$$
连续。
- 在 $x=-1$ 处：
$$
\lim_{x\to -1^-} f(x)=(-1)^2=1,\quad \lim_{x\to -1^+} f(x)=1,\quad f(-1)=1,
$$
也连续。
结论（2）：函数在全体实数上连续，无间断点。
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最终答案
（1）间断点 $x=\pm1$，为第一类跳跃间断点；
（2）处处连续。