人邮高数 第1章 第1-1-14题
📝 题目
14．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x, & x\lt 0, \\ \mathrm{e}^{x}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求复合函数 $f[f(x)]$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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解：
已知
$$
f(x)=\begin{cases}
1+x, & x<0,\\
e^x, & x\ge 0.
\end{cases}
$$
要求复合函数 $f[f(x)]$，需要根据 $f(x)$ 的取值是否小于0或大于等于0来分段讨论。
---
**第一步：确定 $f(x)$ 的值域分段**
- 当 $x<0$ 时，$f(x)=1+x$。
因为 $x<0$，所以 $1+x<1$，且当 $x\to -\infty$ 时 $1+x\to -\infty$。
因此在此段，$f(x)\in (-\infty,1)$。
- 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=e^x$。
因为 $x\ge 0$，所以 $e^x\ge 1$。
因此在此段，$f(x)\in [1,+\infty)$。
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**第二步：将 $f(x)$ 的值作为新的自变量代入 $f$**
我们需要分情况判断 $f(x)$ 是否小于0或大于等于0。
情况1： 若 $f(x)<0$，则 $f[f(x)]=1+f(x)$。
情况2： 若 $f(x)\ge 0$，则 $f[f(x)]=e^{f(x)}$。
---
**第三步：分别讨论原自变量 $x$ 的范围**
**(1) 当 $x<0$ 时**
此时 $f(x)=1+x$。
- 若 $1+x<0$，即 $x<-1$，则 $f(x)<0$，于是
$$
f[f(x)]=1+f(x)=1+(1+x)=2+x.
$$
- 若 $1+x\ge 0$，即 $-1\le x<0$，则 $f(x)\ge 0$，于是
$$
f[f(x)]=e^{f(x)}=e^{1+x}.
$$
**(2) 当 $x\ge 0$ 时**
此时 $f(x)=e^x\ge 1>0$，所以 $f(x)\ge 0$，于是
$$
f[f(x)]=e^{f(x)}=e^{e^x}.
$$
---
第四步：综合结果
$$
\boxed{
f[f(x)]=
\begin{cases}
2+x, & x<-1,\$$4pt]
e^{1+x}, & -1\le x<0,\$$4pt]
e^{e^x}, & x\ge 0.
\end{cases}
}
$$