人邮高数 第2章 第2-1-11题

教材习题

📝 题目

11．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ 。

💡 答案解析

[AI解答]

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证明：
设双曲线方程为
$$
x y = a^{2}, \quad a > 0.
$$

任取双曲线上一点 $P(x_0, y_0)$，满足 $x_0 y_0 = a^{2}$。
对原方程两边关于 $x$ 求导（视 $y$ 为 $x$ 的函数），得
$$
y + x \frac{dy}{dx} = 0,
$$
所以
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.
$$
因此在点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线斜率为
$$
k = -\frac{y_0}{x_0}.
$$

切线方程为
$$
y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0).
$$

分别求该切线与两坐标轴的交点：

- 令 $x = 0$，得
$$
y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (0 - x_0) = y_0,
$$
所以 $y = 2y_0$，即与 $y$ 轴交点为 $(0, 2y_0)$。

- 令 $y = 0$，得
$$
0 - y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0),
$$
即
$$
-y_0 = -\frac{y_0}{x_0} (x - x_0),
$$
两边除以 $-y_0$（$y_0 \neq 0$），得
$$
1 = \frac{x - x_0}{x_0},
$$
所以 $x = 2x_0$，即与 $x$ 轴交点为 $(2x_0, 0)$。

因此，切线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两直角边长分别为 $|2x_0|$ 和 $|2y_0|$。
其面积为
$$
S = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot |2y_0| = \frac{1}{2} \cdot 4 |x_0 y_0| = 2 |x_0 y_0|.
$$

由 $x_0 y_0 = a^{2} > 0$，得
$$
S = 2 a^{2}.
$$

由于点 $P$ 是双曲线上任意一点，故结论成立。
证毕。

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设双曲线方程和点坐标
设双曲线方程为 $xy = a^2$，$a>0$。任取双曲线上一点 $P(x_0, y_0)$，满足 $x_0 y_0 = a^2$。
公式：xy = a^2
提示：注意 $a>0$，且 $x_0$ 和 $y_0$ 同号。
步骤 2/5
目标：求切线斜率
对 $xy = a^2$ 两边关于 $x$ 求导，得 $y + x \frac{dy}{dx} = 0$，所以 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$。在点 $P$ 处，斜率 $k = -\frac{y_0}{x_0}$。
公式：\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}
提示：隐函数求导时，将 $y$ 视为 $x$ 的函数。
步骤 3/5
目标：写出切线方程
切线方程为 $y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0}(x - x_0)$。
公式：y - y_0 = k(x - x_0)
提示：点斜式方程。
步骤 4/5
目标：求切线与坐标轴的交点
令 $x=0$，得 $y = 2y_0$，即与 $y$ 轴交点为 $(0, 2y_0)$。令 $y=0$，得 $x = 2x_0$，即与 $x$ 轴交点为 $(2x_0, 0)$。
提示：注意 $y_0 \neq 0$，否则切线为 $x=0$ 或 $y=0$，但双曲线 $xy=a^2$ 上 $x,y$ 均不为零。
步骤 5/5
目标：计算三角形面积
三角形两直角边长为 $|2x_0|$ 和 $|2y_0|$，面积 $S = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot |2y_0| = 2|x_0 y_0|$。由 $x_0 y_0 = a^2 > 0$，得 $S = 2a^2$。
公式：S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}
提示：面积与点 $P$ 的位置无关，恒为常数 $2a^2$。

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