人邮高数 第2章 第2-2-10题

[AI解答]

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习题2-2 第10题 求隐函数 $y=y(x)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

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（1）$x^{2}+y^{2}-x y=\ln 2$

两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2})+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{2})-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy)=0
$$
$$
2x + 2y y' - (y + x y') = 0
$$
整理：
$$
2x + 2y y' - y - x y' = 0
$$
$$
(2y - x) y' = y - 2x
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y - 2x}{2y - x}
$$

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（2）$y=x+x \ln y$

两边对 $x$ 求导：
$$
y' = 1 + \ln y + x \cdot \frac{1}{y} y'
$$
移项：
$$
y' - \frac{x}{y} y' = 1 + \ln y
$$
$$
y' \left(1 - \frac{x}{y}\right) = 1 + \ln y
$$
$$
y' \cdot \frac{y - x}{y} = 1 + \ln y
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(1 + \ln y)}{y - x}
$$

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（3）$y=\cos (x+y)$

两边对 $x$ 求导：
$$
y' = -\sin(x+y) \cdot (1 + y')
$$
展开：
$$
y' = -\sin(x+y) - \sin(x+y) y'
$$
移项：
$$
y' + \sin(x+y) y' = -\sin(x+y)
$$
$$
y' (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}
$$

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（4）$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$

两边对 $x$ 求导：
$$
\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} y' = 0
$$
乘以 $2$：
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} y' = 0
$$
移项：
$$
\frac{1}{\sqrt{y}} y' = -\frac{1}{\sqrt{x}}
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}
$$

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（5）$\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$

先化简右边：$\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2})$。

两边对 $x$ 求导：
左边导数：
$$
\frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}}
$$
右边导数：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}}
$$
两边相等，分母相同，得：
$$
y' x - y = x + y y'
$$
移项：
$$
y' x - y y' = x + y
$$
$$
y'(x - y) = x + y
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x + y}{x - y}
$$

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（6）$x y = \mathrm{e}^{x+y}$

两边对 $x$ 求导：
$$
y + x y' = \mathrm{e}^{x+y} (1 + y')
$$
因为 $\mathrm{e}^{x+y} = xy$，代入：
$$
y + x y' = xy (1 + y')
$$
展开：
$$
y + x y' = xy + xy y'
$$
移项：
$$
x y' - xy y' = xy - y
$$
$$
y'(x - xy) = y(x - 1)
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)}
$$

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（7）$y=1+y \mathrm{e}^{x}$

两边对 $x$ 求导：
$$
y' = 0 + y' \mathrm{e}^{x} + y \mathrm{e}^{x}
$$
移项：
$$
y' - y' \mathrm{e}^{x} = y \mathrm{e}^{x}
$$
$$
y'(1 - \mathrm{e}^{x}) = y \mathrm{e}^{x}
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y \mathrm{e}^{x}}{1 - \mathrm{e}^{x}}
$$

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（8）$y=x^{\frac{1}{y}}$

两边取自然对数：
$$
\ln y = \frac{1}{y} \ln x
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
\frac{1}{y} y' = -\frac{1}{y^{2}} y' \ln x + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x}
$$
两边乘以 $y$：
$$
y' = -\frac{y'}{y} \ln x + \frac{1}{x}
$$
移项：
$$
y' + \frac{y'}{y} \ln x = \frac{1}{x}
$$
$$
y' \left(1 + \frac{\ln x}{y}\right) = \frac{1}{x}
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x\left(1 + \frac{\ln x}{y}\right)} = \frac{y}{x(y + \ln x)}
$$

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（9）$x^{y}+y^{x}=1$

两边取对数处理：令 $u = x^{y}$，$v = y^{x}$，则 $\ln u = y \ln