人邮高数 第2章 第2-2-12题

[AI解答]

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解：
已知方程
$$
x y^{3}=2 y-1
$$
确定 $y$ 是 $x$ 的函数。要求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}$，且 $y$ 为整数。

首先，将 $x=1$ 代入原方程：
$$
1 \cdot y^{3} = 2y - 1
$$
即
$$
y^{3} - 2y + 1 = 0
$$
试根：$y=1$ 代入得 $1 - 2 + 1 = 0$，成立。因此 $y=1$ 是一个解。由于题目说 $y$ 为整数，我们取 $y=1$。

接下来，对原方程两边关于 $x$ 求导（隐函数求导法）。注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( x y^{3} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2y - 1)
$$
左边使用乘积法则：
$$
1 \cdot y^{3} + x \cdot 3y^{2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
$$
即
$$
y^{3} + 3x y^{2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
$$

将含 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的项移到一边：
$$
3x y^{2} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - y^{3}
$$
提取公因子：
$$
\left( 3x y^{2} - 2 \right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - y^{3}
$$
因此
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{- y^{3}}{3x y^{2} - 2}
$$

现在代入 $x=1$，$y=1$：
$$
\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=1} = \frac{-1^{3}}{3\cdot 1 \cdot 1^{2} - 2} = \frac{-1}{3 - 2} = -1
$$

因此，所求导数值为：
$$
\boxed{-1}
$$