人邮高数 第2章 第2-2-14题

[AI解答]

[AI解答]

14. 利用对数求导法求下列函数的导数

---

（1）$y=x^{x}$

解：
两边取自然对数：
$$
\ln y = \ln(x^{x}) = x \ln x
$$
两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）：
$$
\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1
$$
所以
$$
y' = y(\ln x + 1) = x^{x} (\ln x + 1)
$$

---

（2）$(\cos y)^{x}=(\sin x)^{y}$

解：
两边取自然对数：
$$
\ln\big((\cos y)^{x}\big) = \ln\big((\sin x)^{y}\big)
$$
即
$$
x \ln(\cos y) = y \ln(\sin x)
$$
两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）：
$$
\ln(\cos y) + x \cdot \frac{-\sin y}{\cos y} \cdot y' = y' \ln(\sin x) + y \cdot \frac{\cos x}{\sin x}
$$
整理：
$$
\ln(\cos y) - x \tan y \cdot y' = y' \ln(\sin x) + y \cot x
$$
将含 $y'$ 的项移到一边：
$$
- x \tan y \cdot y' - y' \ln(\sin x) = y \cot x - \ln(\cos y)
$$
提取 $y'$：
$$
y' \big[ - x \tan y - \ln(\sin x) \big] = y \cot x - \ln(\cos y)
$$
所以
$$
y' = \frac{ y \cot x - \ln(\cos y) }{ - x \tan y - \ln(\sin x) }
$$
或等价地
$$
y' = \frac{ \ln(\cos y) - y \cot x }{ x \tan y + \ln(\sin x) }
$$

---

（3）$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}}$

解：
两边取自然对数：
$$
\ln y = \frac{1}{2} \ln(x+1) + 3 \ln(2-x) - 4 \ln(x-1)
$$
对 $x$ 求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1} + 3 \cdot \frac{-1}{2-x} - 4 \cdot \frac{1}{x-1}
$$
注意 $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(2-x) = \frac{-1}{2-x}$，所以
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{2-x} - \frac{4}{x-1}
$$
因此
$$
y' = \frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{3}}{(x-1)^{4}} \left( \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{2-x} - \frac{4}{x-1} \right)
$$

---

（4）$y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}$

解：
先化简根式嵌套：
$$
y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{1-\sin x}}}
$$
由外到内：
$$
y = \big[ x \big( x (1-\sin x)^{1/2} \big)^{1/2} \big]^{1/2}
$$
指数运算：
$$
y = x^{1/2} \cdot \big( x (1-\sin x)^{1/2} \big)^{1/4}
= x^{1/2} \cdot x^{1/4} \cdot (1-\sin x)^{1/8}
= x^{3/4} (1-\sin x)^{1/8}
$$
两边取自然对数：
$$
\ln y = \frac{3}{4} \ln x + \frac{1}{8} \ln(1-\sin x)
$$
对 $x$ 求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{8} \cdot \frac{-\cos x}{1-\sin x}
$$
所以
$$
y' = x^{3/4} (1-\sin x)^{1/8} \left( \frac{3}{4x} - \frac{\cos x}{8(1-\sin x)} \right)
$$

---

以上四题均利用对数求导法完成。