人邮高数 第2章 第2-2-16题
📝 题目
16．已知下列参数方程，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（1）$\left\{\begin{array}{l}x=t^{4}, \\ y=4 t ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) ;\end{array}\right.$
（3）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{1+t}, \\ y=\frac{t}{1+t} ;\end{array}\right.$
（4）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a t+b, \\ y=\frac{1}{2} a t^{2} .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们分别计算四个参数方程的一阶和二阶导数。
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（1）
参数方程：
$$
\begin{cases}
x = t^4, \\
y = 4t.
\end{cases}
$$
一阶导数：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \frac{4}{4t^3} = \frac{1}{t^3}.
$$
二阶导数：
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}
= \frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\left(t^{-3}\right)}{4t^3}
= \frac{-3t^{-4}}{4t^3}
= -\frac{3}{4t^7}.
$$
---
（2）
参数方程：
$$
\begin{cases}
x = a(t - \sin t), \\
y = a(1 - \cos t).
\end{cases}
$$
一阶导数：
$$
\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t,
$$
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}.
$$
利用半角公式：
$$
\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\frac{t}{2}.
$$
二阶导数：
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\cot\frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2},
$$
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}}{a(1 - \cos t)}.
$$
又因为 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，所以：
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}}{a\cdot 2\sin^2\frac{t}{2}}
= -\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}.
$$
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（3）
参数方程：
$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{1+t}, \\
y = \frac{t}{1+t}.
\end{cases}
$$
一阶导数：
$$
\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{(1+t)^2}, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{(1+t)^2},
$$
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{(1+t)^2}}{-\frac{1}{(1+t)^2}} = -1.
$$
二阶导数：
一阶导数为常数，所以：
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = 0.
$$
---
（4）
参数方程：
$$
\begin{cases}
x = a t + b, \\
y = \frac{1}{2} a t^2.
\end{cases}
$$
一阶导数：
$$
\frac{dx}{dt} = a, \quad \frac{dy}{dt} = a t,
$$
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{a t}{a} = t.
$$
二阶导数：
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = 1,
$$
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}.
$$
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最终结果：
(1)
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t^3}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{4t^7}.
$$
(2)
$$
\frac{dy}{dx} = \cot\frac{t}{2}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}.
$$
(3)
$$
\frac{dy}{dx} = -1, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = 0.
$$
(4)
$$
\frac{dy}{dx} = t, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}.
$$
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难度：★★☆☆☆
（基本参数方程求导，主要考察链式法则和半角公式的运用，计算量不大。）