人邮高数 第2章 第2-2-18题

[AI解答]

[AI解答]
已知参数方程：
$$
\begin{cases}
x = \sqrt{2} \cos t, \\
y = \sin t
\end{cases}
$$
在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处求切线方程和法线方程。

第一步：求对应点的坐标
当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时：
$$
x_0 = \sqrt{2} \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1,
$$
$$
y_0 = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
所以切点为 $\displaystyle \left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

第二步：求导数（斜率）
参数方程下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}.
$$
先求：
$$
\frac{dx}{dt} = -\sqrt{2} \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t.
$$
因此：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sqrt{2} \sin t} = -\frac{\cot t}{\sqrt{2}}.
$$
在 $t = \frac{\pi}{4}$ 处：
$$
\cot\frac{\pi}{4} = 1,
$$
所以切线斜率：
$$
k_{\text{tan}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
$$

第三步：切线方程
点斜式：
$$
y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} (x - 1).
$$
整理：
$$
y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
由于 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，所以：
$$
y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}.
$$
即切线方程：
$$
\boxed{y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}}.
$$

第四步：法线方程
法线斜率与切线斜率互为负倒数：
$$
k_{\text{norm}} = \sqrt{2}.
$$
法线方程：
$$
y - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} (x - 1).
$$
整理：
$$
y = \sqrt{2} x - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
即：
$$
\boxed{y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}}.
$$

难度评级：★☆☆☆☆
本题仅涉及参数方程求导与直线方程，计算简单，无复杂技巧。