人邮高数 第2章 第2-2-4题

[AI解答]

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以下为各复合函数导数的求解过程，使用链式法则逐步推导。

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（1） $y=(4x+1)^5$
令 $u=4x+1$，则 $y=u^5$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 4 = 20(4x+1)^4.
$$

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（2） $y=5e^{3x}+x^2$
第一项：令 $u=3x$，则 $\displaystyle \frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3$。
所以
$$
y' = 5\cdot 3e^{3x} + 2x = 15e^{3x}+2x.
$$

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（3） $y=\sin 3^x$
令 $u=3^x$，则 $y=\sin u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx} = \cos(3^x) \cdot 3^x \ln 3.
$$

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（4） $y=5^{\sin 2x}$
令 $u=\sin 2x$，则 $y=5^u$。
$$
\frac{dy}{dx} = 5^u \ln 5 \cdot \frac{du}{dx} = 5^{\sin 2x} \ln 5 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2\ln 5 \cdot 5^{\sin 2x} \cos 2x.
$$

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（5） $y=\tan^2 x$
令 $u=\tan x$，则 $y=u^2$。
$$
\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \sec^2 x = 2\tan x \sec^2 x.
$$

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（6） $y=\cot \sqrt{x}$
令 $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$，则 $y=\cot u$。
$$
\frac{dy}{dx} = -\csc^2 u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\csc^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
$$

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（7） $\displaystyle y=\arcsin \frac{1}{x}$
令 $\displaystyle u=\frac{1}{x}=x^{-1}$，则 $y=\arcsin u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.
$$

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（8） $y=\operatorname{arccot} 2x$
令 $u=2x$，则 $y=\operatorname{arccot} u$。
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot 2 = -\frac{2}{1+4x^2}.
$$

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（9） $y=\cos x^2 + 2\sin 2x$
第一项：令 $u=x^2$，则 $\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x^2 = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin x^2$。
第二项：$\displaystyle \frac{d}{dx}2\sin 2x = 2\cos 2x \cdot 2 = 4\cos 2x$。
所以
$$
y' = -2x\sin x^2 + 4\cos 2x.
$$

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（10） $y=x\sqrt{1-x^2}$
使用乘积法则：
$$
y' = 1\cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
合并：
$$
y' = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.
$$

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（11） $\displaystyle y=x^2 \sin \frac{1}{x}$
乘积法则：
$$
y' = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}.
$$

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（12） $\displaystyle y=x \arctan \frac{x}{3}$
乘积法则：
$$
y' = 1\cdot \arctan\frac{x}{3} + x \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2} \cdot \frac{1}{3} = \arctan\frac{x}{3} + \frac{x}{3\left(1+\frac{x^2}{9}\right)}.
$$
化简：
$$
y' = \arctan\frac{x}{3} + \frac{3x}{9+x^2}.
$$

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（13） $y=\sqrt{1+\ln^2 x}$
令 $u=1+\ln^2 x$，则 $y=u^{1/2}$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2\ln x \cdot \frac{1}{x}) = \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2 x}}.
$$

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（15） $\displaystyle y=e^{\frac{x}{\ln x}}$
令 $\displaystyle u=\frac{x}{\ln x}$，则 $y=e^u$。
先求 $u'$：
$$
u' = \frac{1\cdot \ln x - x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}.
$$
所以
$$
y' = e^{\frac{x}{\ln x}} \cdot \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}.
$$

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（17） $\displaystyle y=2\tan^2 \frac{1}{\sqrt{x}}$
令 $\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$，再令 $v=\tan u$，则 $y=2v^2$。
$$
\frac{dy}{dx} = 2\cdot 2v \cdot \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = 4\tan u \sec