人邮高数 第2章 第2-2-7题
📝 题目
7．求下列函数的二阶导数：
（1）$y=x \ln x$ ；
（3）$y=\mathrm{e}^{1-2 x}$ ；
（5）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ；
（7）$y=x[\sin (\ln x)+\cos (\ln x)]$ ；
（9）$y=\cos ^{2} x \ln x$ ；
（2）$y=\cos x+\tan x$ ；
（4）$y=\ln \left(1-x^{3}\right)$ ；
（6）$\displaystyle y=\frac{\tan x}{x}$ ；
（8）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ；
（10）$y=\ln \left(\sqrt{2+x^{2}}-x\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的二阶导数求解过程。
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（1）$y = x \ln x$
一阶导数：
$$
y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{1}{x}
$$
---
（2）$y = \cos x + \tan x$
一阶导数：
$$
y' = -\sin x + \sec^2 x
$$
二阶导数：
$$
y'' = -\cos x + 2\sec x \cdot \sec x \tan x = -\cos x + 2\sec^2 x \tan x
$$
---
（3）$y = e^{1-2x}$
一阶导数：
$$
y' = e^{1-2x} \cdot (-2) = -2 e^{1-2x}
$$
二阶导数：
$$
y'' = -2 \cdot (-2) e^{1-2x} = 4 e^{1-2x}
$$
---
（4）$y = \ln(1 - x^3)$
一阶导数：
$$
y' = \frac{-3x^2}{1 - x^3}
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{-6x(1 - x^3) - (-3x^2)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2}
= \frac{-6x + 6x^4 - 9x^4}{(1 - x^3)^2}
= \frac{-6x - 3x^4}{(1 - x^3)^2}
= -\frac{3x(2 + x^3)}{(1 - x^3)^2}
$$
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（5）$y = (1 + x^2)\arctan x$
一阶导数：
$$
y' = 2x \arctan x + (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 2x \arctan x + 1
$$
二阶导数：
$$
y'' = 2\arctan x + 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 2\arctan x + \frac{2x}{1 + x^2}
$$
---
（6）$\displaystyle y = \frac{\tan x}{x}$
一阶导数：
$$
y' = \frac{\sec^2 x \cdot x - \tan x}{x^2} = \frac{x\sec^2 x - \tan x}{x^2}
$$
二阶导数（使用商法则）：
设 $u = x\sec^2 x - \tan x$，$v = x^2$
$u' = \sec^2 x + x \cdot 2\sec x \cdot \sec x \tan x - \sec^2 x = 2x\sec^2 x \tan x$
$v' = 2x$
则
$$
y'' = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{(2x\sec^2 x \tan x) \cdot x^2 - (x\sec^2 x - \tan x) \cdot 2x}{x^4}
$$
化简：
$$
y'' = \frac{2x^3 \sec^2 x \tan x - 2x^2 \sec^2 x + 2x \tan x}{x^4}
= \frac{2x^2 \sec^2 x \tan x - 2x \sec^2 x + 2\tan x}{x^3}
$$
---
（7）$y = x[\sin(\ln x) + \cos(\ln x)]$
一阶导数：
$$
y' = \sin(\ln x) + \cos(\ln x) + x\left[\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\right]
$$
化简：
$$
y' = \sin(\ln x) + \cos(\ln x) + \cos(\ln x) - \sin(\ln x) = 2\cos(\ln x)
$$
二阶导数：
$$
y'' = -2\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2\sin(\ln x)}{x}
$$
---
（8）$y = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$
一阶导数：
$$
y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
= \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
$$
二阶导数：
$$
y'' = -\frac{1}{2}(1 + x^2)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(1 + x^2)^{3/2}}
$$
---
（9）$y = \cos^2 x \ln x$
一阶导数：
$$
y' = -2\cos x \sin x \ln x + \frac{\cos^2 x}{x} = -\sin 2x \ln x + \frac{\cos^2 x}{x}
$$
二阶导数：
$$
y'' = -2\cos 2x \ln x - \frac{\sin 2x}{x} + \frac{-2\cos x \sin x \cdot x - \cos^2 x}{x^2}
$$
化简第二项：
$$
-\frac{\sin 2x}{x} + \frac{-x\sin 2x - \cos^2 x}{x^2}
$$
合并：
$$
y'' = -2\cos 2x \ln x - \frac{2\sin 2x}{x} - \frac{\cos^2 x}{x^2}
$$
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（10）$y = \ln\left(\sqrt{2 + x^2} - x\right)$
一阶导数：
$$
y' = \frac{1}{\sqrt{2 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{2 + x^2}} - 1 \right)
= \frac{\frac{x - \sqrt{2 + x^2}}{\sqrt{2 + x^2}}}{\sqrt{2 + x^2} - x}
= -\frac{1}{\sqrt{2 + x^2}}
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{x}{(2 + x^2)^{3/2}}
$$
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难度评级：★★★☆☆
理由：题目覆盖多种函数类型（幂、三角、反三角、对数、复合），需要熟练运用乘积法则、商法则、链式法则，部分化简较繁琐，但整体思路直接。