同济高数 第7章 第7-5-5题

[AI解答]

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我们考虑质量为 $ m $ 的物体在重力作用下由静止下落，同时受到与速度成正比的空气阻力 $ R = c v $，其中 $ c > 0 $ 为常数。取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律：

$$
m \frac{dv}{dt} = mg - c v
$$

这是一个一阶线性微分方程，初始条件为 $ v(0) = 0 $。

将方程改写为：

$$
\frac{dv}{dt} = g - \frac{c}{m} v
$$

令 $ k = \frac{c}{m} > 0 $，则：

$$
\frac{dv}{dt} = g - k v
$$

分离变量：

$$
\frac{dv}{g - k v} = dt
$$

两边积分：

$$
\int \frac{dv}{g - k v} = \int dt
$$

得：

$$
-\frac{1}{k} \ln |g - k v| = t + C
$$

由初始条件 $ v(0) = 0 $ 得：

$$
-\frac{1}{k} \ln g = C
$$

代入得：

$$
-\frac{1}{k} \ln |g - k v| = t - \frac{1}{k} \ln g
$$

整理：

$$
\ln \frac{g - k v}{g} = -k t
$$

因此：

$$
g - k v = g e^{-k t}
$$

解得速度：

$$
v(t) = \frac{g}{k} \left(1 - e^{-k t}\right)
$$

由于 $ v = \frac{ds}{dt} $，且初始位置 $ s(0) = 0 $，积分得：

$$
s(t) = \int_0^t v(\tau) \, d\tau = \frac{g}{k} \int_0^t \left(1 - e^{-k \tau}\right) d\tau
$$

计算积分：

$$
\int_0^t 1 \, d\tau = t, \quad \int_0^t e^{-k \tau} d\tau = \frac{1 - e^{-k t}}{k}
$$

所以：

$$
s(t) = \frac{g}{k} \left[ t - \frac{1 - e^{-k t}}{k} \right]
$$

将 $ k = \frac{c}{m} $ 代回，得：

$$
\boxed{s(t) = \frac{mg}{c} \left[ t - \frac{m}{c} \left(1 - e^{-\frac{c}{m} t}\right) \right]}
$$

这就是物体下落距离与时间的关系。

难度：★★☆☆☆