同济高数 第7章 第7-6-*7题
📝 题目
＊7．已知齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x$ ，求非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=\sec x$的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知齐次方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解为
$$
Y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
$$
对于非齐次方程
$$
y'' + y = \sec x,
$$
采用常数变易法求特解。设特解形式为
$$
y_p(x) = u_1(x) \cos x + u_2(x) \sin x,
$$
其中 $ u_1(x), u_2(x) $ 满足方程组：
$$
\begin{cases}
u_1' \cos x + u_2' \sin x = 0, \$$2pt]
-u_1' \sin x + u_2' \cos x = \sec x.
\end{cases}
$$
解此方程组：
由第一个方程得
$$
u_1' = -u_2' \tan x,
$$
代入第二个方程：
$$
-(-u_2' \tan x) \sin x + u_2' \cos x = \sec x,
$$
即
$$
u_2' \tan x \sin x + u_2' \cos x = \sec x.
$$
由于 $\tan x \sin x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$，所以
$$
u_2' \left( \frac{\sin^2 x}{\cos x} + \cos x \right) = u_2' \left( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x} \right) = u_2' \cdot \frac{1}{\cos x} = \sec x,
$$
因此
$$
u_2' = 1 \quad \Rightarrow \quad u_2(x) = x.
$$
再由 $ u_1' = -u_2' \tan x = -\tan x $，得
$$
u_1(x) = -\int \tan x \, dx = -\ln|\sec x| + C = \ln|\cos x| + C.
$$
取一个特解时，可令常数 $ C = 0 $，于是
$$
u_1(x) = \ln|\cos x|, \quad u_2(x) = x.
$$
因此特解为
$$
y_p(x) = \ln|\cos x| \cdot \cos x + x \sin x.
$$
所以原非齐次方程的通解为
$$
\boxed{y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \cos x \ln|\cos x| + x \sin x}.
$$
难度：★★☆☆☆