同济高数 第7章 第7-9-1题
📝 题目
1．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们求解二阶变系数齐次线性微分方程：
$$
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0
$$
第一步：识别方程类型
这是欧拉方程（Euler–Cauchy方程），其一般形式为：
$$
x^{2} y'' + a x y' + b y = 0
$$
这里 $a=1$，$b=-1$。
第二步：设解的形式
对于欧拉方程，设解为：
$$
y = x^{r}
$$
则
$$
y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1) x^{r-2}
$$
第三步：代入方程
代入原方程：
$$
x^{2} \cdot r(r-1) x^{r-2} + x \cdot r x^{r-1} - x^{r} = 0
$$
化简：
$$
r(r-1) x^{r} + r x^{r} - x^{r} = 0
$$
提取 $x^{r}$（$x>0$时不为零）：
$$
\bigl[ r(r-1) + r - 1 \bigr] x^{r} = 0
$$
第四步：得到特征方程
因此：
$$
r(r-1) + r - 1 = 0
$$
化简：
$$
r^{2} - r + r - 1 = r^{2} - 1 = 0
$$
解得：
$$
r = 1 \quad \text{或} \quad r = -1
$$
第五步：写出通解
两个线性无关解为：
$$
y_{1} = x^{1} = x, \quad y_{2} = x^{-1} = \frac{1}{x}
$$
因此通解为：
$$
y = C_{1} x + \frac{C_{2}}{x}
$$
其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数。
最终答案：
$$
\boxed{y = C_{1} x + \dfrac{C_{2}}{x}}
$$
难度：★☆☆☆☆