同济高数 第7章 第7-9-7题

[AI解答]

[AI解答]

这是一个欧拉方程（变系数线性微分方程），形式为：
$$
x^{2} y'' - 3x y' + 4y = x + x^{2} \ln x.
$$

第一步：解齐次方程
齐次方程为：
$$
x^{2} y'' - 3x y' + 4y = 0.
$$
设 $ y = x^{r} $，则：
$$
y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
$$
代入齐次方程：
$$
x^{2} \cdot r(r-1)x^{r-2} - 3x \cdot r x^{r-1} + 4 x^{r} = 0,
$$
即：
$$
r(r-1)x^{r} - 3r x^{r} + 4 x^{r} = 0.
$$
约去 $x^{r}$（$x>0$）得特征方程：
$$
r(r-1) - 3r + 4 = r^{2} - 4r + 4 = (r-2)^{2} = 0.
$$
有重根 $r = 2$，因此齐次通解为：
$$
y_h = C_1 x^{2} + C_2 x^{2} \ln x.
$$

第二步：求特解（常数变易法）
设特解形式：
$$
y_p = u_1(x) x^{2} + u_2(x) x^{2} \ln x.
$$
由常数变易法公式，需解方程组：
$$
\begin{cases}
u_1' x^{2} + u_2' x^{2} \ln x = 0, \\
u_1' (2x) + u_2' (2x \ln x + x) = \displaystyle\frac{x + x^{2} \ln x}{x^{2}}.
\end{cases}
$$
右边化简：
$$
\frac{x + x^{2} \ln x}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \ln x.
$$

第一个方程两边除以 $x^{2}$（$x>0$）：
$$
u_1' + u_2' \ln x = 0. \quad (1)
$$
第二个方程：
$$
2x u_1' + (2x \ln x + x) u_2' = \frac{1}{x} + \ln x.
$$
两边除以 $x$：
$$
2 u_1' + (2 \ln x + 1) u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}. \quad (2)
$$

由(1)得 $u_1' = - u_2' \ln x$，代入(2)：
$$
2(-u_2' \ln x) + (2 \ln x + 1) u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x},
$$
即：
$$
u_2' ( -2\ln x + 2\ln x + 1) = u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}.
$$
所以：
$$
u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}.
$$
积分得：
$$
u_2 = \int \left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x} \right) dx
= \int x^{-2} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx.
$$
计算：
$$
\int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x},
$$
$$
\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} (\ln x)^{2}.
$$
因此：
$$
u_2 = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2} \ln^{2} x.
$$

再由(1)：
$$
u_1' = - u_2' \ln x = -\left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x} \right) \ln x
= -\frac{\ln x}{x^{2}} - \frac{\ln^{2} x}{x}.
$$
积分：
$$
u_1 = -\int \frac{\ln x}{x^{2}} dx - \int \frac{\ln^{2} x}{x} dx.
$$
分别计算：
$$
\int \frac{\ln x}{x^{2}} dx \quad \text{令 } u=\ln x, dv = x^{-2}dx,
$$
得：
$$
= -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}.
$$
所以第一项为：
$$
-\left( -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x}.
$$
第二项：
$$
\int \frac{\ln^{2} x}{x} dx = \frac{1}{3} \ln^{3} x.
$$
因此：
$$
u_1 = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \ln^{3} x.
$$

第三步：写出特解并化简
特解：
$$
y_p = u_1 x^{2} + u_2 x^{2} \ln x
= \left( \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \ln^{3} x \right) x^{2}
+ \left( -\frac{1}{x} + \frac{1}{2} \ln^{2} x \right) x^{2} \ln x.
$$
逐项：
第一项：$x \ln x + x - \frac{1}{3} x^{2} \ln^{3} x$，
第二项：$-x \ln x + \frac{1}{2} x^{2} \ln^{3} x$。
相加后，$x \ln x$ 抵消，$\ln^{3} x$ 项系数为：
$$
-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6},
$$
所以：
$$
y_p = x + \frac{1}{6} x^{2} \ln^{3} x.
$$

第四步：通解
原方程通解为：
$$
y = y_h + y_p = C_1 x^{2} + C_2 x^{2} \ln x + x + \frac{1}{6} x^{2} \ln^{3} x.
$$

难度：★★★☆☆
（涉及欧拉方程解法与常数变易法，计算量中等，需细心处理积分与化简）