同济高数 第10章 第10-3-*15题

[AI解答]

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步骤1：建立密度函数与质量积分表达式
由题意，球心在原点，半径为 $R$，球内任意一点 $(x,y,z)$ 到球心的距离为 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
密度与距离成正比，设比例系数为 $k > 0$，则密度函数为
$$
\rho(x,y,z) = k r = k \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
$$
球的质量 $M$ 为密度在球体区域 $\Omega$ 上的三重积分：
$$
M = \iiint_{\Omega} \rho \, \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega} k r \, \mathrm{d}V.
$$

步骤2：采用球坐标简化积分
由于被积函数和积分区域均为球对称，采用球坐标变换：
$$
x = r \sin\theta \cos\phi,\quad y = r \sin\theta \sin\phi,\quad z = r \cos\theta,
$$
其中 $0 \le r \le R$，$0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \phi \le 2\pi$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$。
于是质量积分化为
$$
M = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{R} k r \cdot (r^2 \sin\theta) \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi
= k \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r.
$$

步骤3：逐次积分计算
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{R^4}{4}.
$$
再对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2.
$$
最后对 $\phi$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi.
$$
将三部分相乘：
$$
M = k \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^4}{4} = k \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{2} = k \pi R^4.
$$

最终答案
$$
\boxed{M = k \pi R^{4}}
$$
其中 $k$ 为密度与距离的比例常数。

难度评级：★★☆☆☆
（基本球坐标三重积分，步骤直接，计算简单，但需理解密度函数与球坐标变换）