同济高数 第10章 第10-4-12题

[AI解答]

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（1）求物体的体积

物体所占区域 $\Omega$ 由曲面 $z = x^2 + y^2$ 和平面 $z=0$，以及 $|x|=a$，$|y|=a$ 围成。
在 $xOy$ 平面上，底面是正方形：$-a \le x \le a,\ -a \le y \le a$。
顶部曲面为 $z = x^2 + y^2$，因此体积为

$$
V = \iiint_{\Omega} \mathrm{d}V
= \int_{x=-a}^{a} \int_{y=-a}^{a} \int_{z=0}^{x^2+y^2} \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$

先对 $z$ 积分：

$$
\int_{0}^{x^2+y^2} \mathrm{d}z = x^2 + y^2
$$

于是

$$
V = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$

由于对称性，可先计算一半再乘以 2 或直接积分。分开计算：

$$
\int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} x^2 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \int_{-a}^{a} x^2 \left( \int_{-a}^{a} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x
= \int_{-a}^{a} x^2 \cdot 2a \,\mathrm{d}x
= 2a \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-a}^{a}
= 2a \cdot \frac{2a^3}{3} = \frac{4a^4}{3}
$$

同理

$$
\int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} y^2 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \frac{4a^4}{3}
$$

因此

$$
V = \frac{4a^4}{3} + \frac{4a^4}{3} = \frac{8a^4}{3}
$$

所以体积为

$$
\boxed{V = \frac{8a^4}{3}}
$$

---

（2）求物体的质心

密度 $\rho$ 为常量，质心坐标公式：

$$
\bar{x} = \frac{\iiint_{\Omega} x\,\rho\,\mathrm{d}V}{\rho V},\quad
\bar{y} = \frac{\iiint_{\Omega} y\,\rho\,\mathrm{d}V}{\rho V},\quad
\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z\,\rho\,\mathrm{d}V}{\rho V}
$$

由于区域关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称，且被积函数 $x$ 和 $y$ 为奇函数，故

$$
\bar{x} = 0,\quad \bar{y} = 0
$$

下面求 $\bar{z}$：

$$
\iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V
= \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} \int_{0}^{x^2+y^2} z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$

先对 $z$ 积分：

$$
\int_{0}^{x^2+y^2} z\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2}(x^2+y^2)^2
$$

于是

$$
\iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V
= \frac12 \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} (x^2+y^2)^2 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$

展开 $(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$，分别积分：

先对 $x$ 从 $-a$ 到 $a$，再对 $y$ 对称性可得：

$$
\int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} x^4 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \int_{-a}^{a} x^4 (2a)\,\mathrm{d}x
= 2a \cdot \frac{2a^5}{5} = \frac{4a^6}{5}
$$

同理

$$
\int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} y^4 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \frac{4a^6}{5}
$$

交叉项：

$$
\int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} 2x^2y^2 \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= 2 \left( \int_{-a}^{a} x^2 \,\mathrm{d}x \right) \left( \int_{-a}^{a} y^2 \,\mathrm{d}y \right)
= 2 \left( \frac{2a^3}{3} \right) \left( \frac{2a^3}{3} \right)
= 2 \cdot \frac{4a^6}{9} = \frac{8a^6}{9}
$$

三项相加：

$$
\frac{4a^6}{5} + \frac{4a^6}{5} + \frac{8a^6}{9}
= \frac{8a^6}{5} + \frac{8a^6}{9}
= 8a^6 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{9} \right)
= 8a^6 \cdot \frac{14}{45}
= \frac{112a^6}{45}
$$

再乘以 $\frac12$ 得：

$$
\iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V = \frac{56a^6}{45}
$$

因此

$$
\bar{z} = \frac{ \frac{56a^6}{45} }{ \frac{8a^4}{3} }
= \frac{56a^6}{45} \cdot \frac{3}{8a^4}
= \frac{56 \cdot 3}{45 \cdot 8}\,a^2
= \frac{168}{360}\,a^2 = \frac{7}{15}\,a^2
$$

所以质心为

$$
\boxed{(0,\,0,\,\frac{7}{15}a^2)}
$$

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**（3）求物体关于 $z$ 轴的转动惯量**

关于 $z$ 轴的转动惯量公式：

$$
I_z = \iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\,\rho\,\mathrm{d}V
$$

由于密度 $\rho$ 为常数，提取后：

$$
I_z = \rho \iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V
$$

而由体积计算部分已知

$$
\iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = V = \frac{8a^4}{3}
$$

因此

$$
I_z = \rho \cdot \frac{8a^4}{3}
$$

即

$$
\boxed{I_z = \frac{8\rho a^4}{3}}
$$

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难度评级：★★★☆☆
（涉及三重积分、对称性简化、质心与转动惯量计算，计算量中等但思路清晰）