同济高数 第10章 第10-5-3题
📝 题目
3．设 $F(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(x+y) f(y) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y)$ 为可微的函数，求 $F^{\prime \prime}(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知
$$
F(x)=\int_{0}^{x} (x+y) f(y) \, \mathrm{d}y
$$
被积函数中同时含有变量 $x$ 和积分变量 $y$，因此不能直接对积分上限求导，需要先将含 $x$ 的因子提出积分号外。
将积分拆开：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} x f(y) \, \mathrm{d}y + \int_{0}^{x} y f(y) \, \mathrm{d}y
= x \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + \int_{0}^{x} y f(y) \, \mathrm{d}y
$$
现在对 $x$ 求一阶导数，使用乘积法则和含参积分求导公式（莱布尼茨法则）：
$$
F'(x) = \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + x f(x) + x f(x)
$$
解释：
- 第一项来自 $x$ 乘积分：导数 = $1 \cdot \int_{0}^{x} f(y) \mathrm{d}y + x \cdot f(x)$
- 第二项来自 $\int_{0}^{x} y f(y) \mathrm{d}y$ 的导数是 $x f(x)$
合并同类项：
$$
F'(x) = \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + 2x f(x)
$$
再求二阶导数：
$$
F''(x) = f(x) + 2f(x) + 2x f'(x)
$$
即
$$
F''(x) = 3f(x) + 2x f'(x)
$$
因此最终结果为：
$$
\boxed{F''(x)=3f(x)+2x f'(x)}
$$
难度：★★☆☆☆