同济高数 第11章 第11-3-10题

[AI解答]

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要证明质点在场力作用下移动时，场力所做的功与路径无关，等价于证明该向量场是保守场，即存在势函数，或等价地，在单连通区域内满足无旋条件。对于二维力场
$$
\mathbf{F} = (X, Y) = (x^2 + y^2,\ 2xy - 8)
$$
需要验证是否满足
$$
\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}.
$$

首先计算偏导数：

$$
\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y,
$$
$$
\frac{\partial Y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 8) = 2y.
$$

显然有
$$
\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}.
$$

由于该偏导数在全体 $\mathbb{R}^2$ 上连续，且 $\mathbb{R}^2$ 是单连通区域，因此该力场是保守场，场力做功与路径无关。

进一步，我们可以求出势函数 $U(x,y)$，使得
$$
X = \frac{\partial U}{\partial x},\quad Y = \frac{\partial U}{\partial y}.
$$

由
$$
\frac{\partial U}{\partial x} = x^2 + y^2
$$
积分得
$$
U(x,y) = \frac{x^3}{3} + x y^2 + \varphi(y).
$$

再对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial U}{\partial y} = 2xy + \varphi'(y) = 2xy - 8,
$$
所以
$$
\varphi'(y) = -8 \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = -8y + C.
$$

因此势函数为
$$
U(x,y) = \frac{x^3}{3} + x y^2 - 8y + C.
$$

由于存在势函数，功与路径无关得证。

难度：★★☆☆☆