同济高数 第11章 第11-6-1题
📝 题目
1．利用高斯公式计算曲面积分：
（1）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成的立体的表面的外侧；
＊（2）$\oiint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧；
＊（3）$\oiint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球体 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$的表面的外侧；
（4）$\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是界于 $z=0$ 和 $z=3$ 之间的圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ 的整个表面的
外侧；
（5）$\oiint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1$ 所围成的立方体的全表面的外侧．
💡 答案解析
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题目（1）
计算曲面积分
$$
\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成立方体表面的外侧。
解
由高斯公式，设
$$
P = x^{2},\quad Q = y^{2},\quad R = z^{2}
$$
则
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z
$$
高斯公式给出
$$
\oiint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
$$
其中 $V$ 是立方体 $0 \le x \le a,\ 0 \le y \le a,\ 0 \le z \le a$。
于是
$$
\iiint_{V} (2x + 2y + 2z)\,dV = 2 \iiint_{V} (x+y+z)\,dV
$$
分别计算：
$$
\iiint_{V} x\,dV = \int_{0}^{a} x\,dx \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a} dz = \frac{a^{2}}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^{4}}{2}
$$
同理
$$
\iiint_{V} y\,dV = \frac{a^{4}}{2},\quad \iiint_{V} z\,dV = \frac{a^{4}}{2}
$$
所以总和为
$$
2 \cdot \left( \frac{a^{4}}{2} + \frac{a^{4}}{2} + \frac{a^{4}}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3a^{4}}{2} = 3a^{4}
$$
因此
$$
\boxed{3a^{4}}
$$
---
题目（2）
计算
$$
\oiint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧。
解
令
$$
P = x^{3},\quad Q = y^{3},\quad R = z^{3}
$$
则
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^{2},\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^{2},\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3z^{2}
$$
由高斯公式，积分等于
$$
\iiint_{V} 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV
$$
其中 $V$ 为球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \le a^{2}$。
采用球坐标：
$$
x = r\sin\theta\cos\phi,\ y = r\sin\theta\sin\phi,\ z = r\cos\theta
$$
体积元 $dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$。
积分区域：$0\le r\le a,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le\phi\le 2\pi$。
于是
$$
\iiint_{V} 3r^{2}\,dV = 3\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{a} r^{2}\cdot r^{2}\,dr
$$
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \frac{a^{5}}{5}
$$
对 $\theta$：
$$
\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = 2
$$
对 $\phi$：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi
$$
相乘得
$$
3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^{5}}{5} = \frac{12\pi a^{5}}{5}
$$
因此
$$
\boxed{\frac{12\pi a^{5}}{5}}
$$
---
题目（3）
计算
$$
\oiint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为上半球体 $0 \le z \le \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},\ x^{2}+y^{2} \le a^{2}$ 的表面的外侧。
解
令
$$
P = xz^{2},\quad Q = x^{2}y - z^{3},\quad R = 2xy + y^{2}z
$$
计算偏导：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = z^{2},\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x^{2},\quad \frac{\partial R}{\partial z} = y^{2}
$$
所以散度为
$$
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} = z^{2} + x^{2} + y^{2}
$$
由高斯公式，曲面积分等于
$$
\iiint_{V} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV
$$
其中 $V$ 是上半球体：$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2},\ z\ge 0$。
采用球坐标：$0\le r\le a,\ 0\le\theta\le \pi/2,\ 0\le\phi\le 2\pi$，$dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，被积函数 $r^{2}$。
于是
$$