同济高数 第11章 第11-7-*4题

[AI解答]

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习题11-7

4． 利用斯托克斯公式把曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \mathrm{~d} S$ 化为曲线积分，并计算积分值。

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（1）

已知
$$
A = y^{2} i + x y j + x z k,
$$
$\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$ 的上侧，$n$ 是单位法向量。

步骤1：斯托克斯公式
斯托克斯公式：
$$
\iint_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \, \mathrm{d}S = \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r,
$$
其中 $\partial \Sigma$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线，方向与 $n$ 成右手螺旋。

步骤2：确定边界曲线
上半球面 $z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}$ 的边界是 $x^2 + y^2 = 1$，$z = 0$ 的圆周。
上侧法向量指向外上方，按右手法则，边界曲线方向应为从 $z$ 轴正向看逆时针方向。

步骤3：参数化边界曲线
令
$$
x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad z = 0,\quad t: 0 \to 2\pi.
$$
则
$$
\mathrm{d}r = (-\sin t \, \mathrm{d}t,\ \cos t \, \mathrm{d}t,\ 0).
$$

步骤4：计算曲线积分
在边界上 $z=0$，所以 $A = (y^2,\ xy,\ 0)$。
代入：
$$
A \cdot \mathrm{d}r = y^2 (-\sin t) + xy (\cos t) + 0.
$$
将 $x=\cos t,\ y=\sin t$ 代入：
$$
y^2 = \sin^2 t,\quad xy = \cos t \sin t.
$$
因此：
$$
A \cdot \mathrm{d}r = -\sin^3 t + \cos^2 t \sin t.
$$
于是：
$$
\oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} \left( -\sin^3 t + \cos^2 t \sin t \right) \mathrm{d}t.
$$

步骤5：计算积分
注意 $\sin^3 t = \sin t (1 - \cos^2 t)$，所以：
$$
-\sin^3 t + \cos^2 t \sin t = -\sin t (1 - \cos^2 t) + \cos^2 t \sin t = -\sin t + \cos^2 t \sin t + \cos^2 t \sin t = -\sin t + 2\cos^2 t \sin t.
$$
在 $[0,2\pi]$ 上，$\sin t$ 和 $\cos^2 t \sin t$ 都是奇函数关于 $\pi$ 对称，积分均为 $0$。
因此：
$$
\oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r = 0.
$$

答案（1）：
$$
\boxed{0}
$$

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（2）

已知
$$
A = (y-z) i + y z j - x z k,
$$
$\Sigma$ 为立方体 $\{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2,\ 0 \le z \le 2\}$ 的表面外侧去掉 $xOy$ 面上的底面，$n$ 是单位法向量。

步骤1：应用斯托克斯公式
斯托克斯公式将曲面积分化为边界曲线积分：
$$
\iint_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \, \mathrm{d}S = \oint_{\partial \Sigma} A \cdot \mathrm{d}r.
$$
这里 $\partial \Sigma$ 是去掉底面的曲面的边界，即立方体底面（$z=0$ 平面上的正方形）的边界，方向与外侧法向量成右手系。

步骤2：确定边界曲线及方向
底面是正方形 $0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2,\ z=0$，其边界是四条边。
由于 $\Sigma$ 是外侧去掉底面，剩余曲面法向指向外侧，则底面边界方向应为从上方看逆时针（即正向）。

步骤3：参数化各边
在 $z=0$ 上，$A = (y-0,\ y\cdot 0,\ -x\cdot 0) = (y,0,0)$。

- 边1：$y=0,\ x:0\to2$，$\mathrm{d}r = (\mathrm{d}x,0,0)$，$A=(0,0,0)$，积分为 $0$。
- 边2：$x=2,\ y:0\to2$，$\mathrm{d}r=(0,\mathrm{d}y,0)$，$A=(y,0,0)$，点乘得 $0$。
- 边3：$y=2,\ x:2\to0$，$\mathrm{d}r=(\mathrm{d}x,0,0)$，$A=(2,0,0)$，点乘得 $2\mathrm{d}x$，积分 $\int_{2}^{0} 2\mathrm{d}x = -4$。
- 边4：$x=0,\ y:2\to0$，$\mathrm{d}r=(0,\mathrm{d}y,0)$，$A=(y,0,0)$，点乘得 $0$。

步骤4：求和
只有边3贡献 $-4$。

答案（2）：
$$
\boxed{-4}
$$

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5． 求向量场 $A$ 沿闭曲线 $\Gamma$（从 $z$ 轴正向看逆时针）的环流量。

环流量公式：
$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r.
$$

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（1）

$A = -y i + x j + c k$，$\Gamma$ 为圆周 $x^2+y^2=1,\ z=0$。

参数化：
$x = \cos t,\ y = \sin t,\ z=0,\ t:0\to 2\pi$。
$\mathrm{d}r = (-\sin t,\ \cos t,\ 0)\,\mathrm{d}t$。

代入：
$$
A = (-\sin t,\ \cos t,\ c),
$$
点乘：
$$
A \cdot \mathrm{d}r = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) + c\cdot 0 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1.
$$
因此：
$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} 1\,\mathrm{d}t = 2\pi.
$$

答案（1）：
$$
\boxed{2\pi}
$$

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（2）

$A = (x-z) i + (x^3 + yz) j - 3xy^2 k$，
$\Gamma$ 为圆周 $z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2},\ z=0$。

步骤1：确定曲线方程
由 $z=0$ 得 $0 = 2 - \sqrt{x^2+y^2}$，即 $\sqrt{x^2+y^2}=2$，所以是 $x^2+y^2=4$ 在 $z=0$ 平面上的圆。

步骤2：参数化
令
$$
x = 2\cos t,\ y = 2\sin t,\ z=0,\ t:0\to 2\pi.
$$
则
$$
\mathrm{d}r = (-2\sin t,\ 2\cos t,\ 0)\,\mathrm{d}t.
$$

**步骤3：代入 $A$**
在 $z=0$ 上：
$$
A = (x,\ x^3,\ -3xy^2).
$$
代入 $x=2\cos t,\ y=2\sin t$：
$$
A = (2\cos t,\ 8\cos^3 t,\ -3(2\cos t)(4\sin^2 t)) = (2\cos t,\ 8\cos^3 t,\ -24\cos t \sin^2 t).
$$
点乘：
$$
A \cdot \mathrm{d}r = (2\cos t)(-2\sin t) + (8\cos^3 t)(2\cos t) + (-24\cos t\sin^2 t)(0)
= -4\cos t\sin t + 16\cos^4 t.
$$

步骤4：计算积分
$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi} \left( -4\cos t\sin t + 16\cos^4 t \right) \mathrm{d}t.
$$
第一