同济高数 第12章 第12-2-6题

[AI解答]

[AI解答]

我们来逐一判定这些级数的收敛性（绝对收敛或条件收敛）。

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（1）
级数为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
$$

第一步：判断是否条件收敛
这是交错级数，令 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，显然
- $b_n > 0$
- $b_n$ 单调递减
- $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} b_n = 0}$

由莱布尼茨判别法，该级数收敛。

第二步：判断是否绝对收敛
考虑绝对值级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}
$$
这是 $p=\frac12<1$ 的 $p$-级数，发散。
因此原级数条件收敛。

结论：条件收敛。

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（2）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n-1}}
$$

第一步：绝对收敛性
考察
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}}
$$
用比值判别法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/3^{n}}{n/3^{n-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n} = \frac13 < 1
$$
所以绝对值级数收敛，原级数绝对收敛。

结论：绝对收敛。

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（3）
级数为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{n}}
$$
即
$$
\frac13 \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac12\right)^{n-1}
$$
这是公比 $r=-\frac12$ 的几何级数，$|r|=\frac12<1$，绝对收敛。

结论：绝对收敛。

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（4）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\ln (n+1)}
$$

第一步：条件收敛性判断
令 $b_n = \frac{1}{\ln(n+1)}$，显然
- 正项
- 单调递减（因为分母递增）
- $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} b_n = 0}$

由莱布尼茨判别法，原级数收敛。

第二步：绝对收敛性
考虑
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}
$$
由于当 $n$ 充分大时，$\ln(n+1) < n$，因此
$$
\frac{1}{\ln(n+1)} > \frac{1}{n}
$$
而调和级数发散，由比较判别法知绝对值级数发散。

结论：条件收敛。

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（5）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^{n^{2}}}{n!}
$$

第一步：绝对值级数
考虑
$$
a_n = \frac{2^{n^{2}}}{n!}
$$
用比值判别法：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n^2}} = \frac{2^{2n+1}}{n+1}
$$
当 $n\to\infty$，$\frac{2^{2n+1}}{n+1} \to \infty$，因此绝对值级数发散。

第二步：通项是否趋于0
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n^2}}{n!} = \infty
$$
因为分子增长远快于分母，通项不趋于0，原级数发散。

结论：发散。

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最终答案汇总：
（1）条件收敛
（2）绝对收敛
（3）绝对收敛
（4）条件收敛
（5）发散

难度：★★★☆☆