同济高数 第12章 第12-4-3题

[AI解答]

[AI解答]
我们分别将三个函数展开成 $(x-1)$ 的幂级数，并确定收敛区间。

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（1）$\sqrt{x^{3}} = x^{3/2}$

令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$，于是
$$
x^{3/2} = (1+t)^{3/2}.
$$
利用二项式展开公式
$$
(1+t)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} t^n,\quad |t|<1,
$$
其中 $\alpha = \frac{3}{2}$，
$$
\binom{\frac{3}{2}}{n} = \frac{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\cdots\left(\frac{3}{2}-n+1\right)}{n!}.
$$
所以
$$
\sqrt{x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\frac{3}{2}}{n} (x-1)^n,
$$
收敛区间由 $|x-1|<1$ 得 $0在端点 $x=0$ 和 $x=2$ 处，级数一般项不趋于0，故收敛区间为开区间 $(0,2)$。

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（2）$\lg x$ （通常指以10为底的对数，但数学分析中常用自然对数，这里按自然对数处理，若为常用对数则乘常数 $\frac{1}{\ln 10}$）

先考虑 $\ln x$：
令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$，
$$
\ln x = \ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n,\quad |t|<1.
$$
因此
$$
\ln x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n,
$$
收敛区间为 $|x-1|<1$，即 $0在 $x=2$ 处，级数为交错调和级数，收敛；在 $x=0$ 处发散。所以收敛域为 $(0,2]$。

若题目中 $\lg x$ 是以10为底，则
$$
\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10} = \frac{1}{\ln 10} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n,
$$
收敛域相同。

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（3）$x e^{x}$

令 $t = x-1$，则 $x = 1+t$，
$$
x e^{x} = (1+t) e^{1+t} = e \cdot (1+t) e^{t}.
$$
而
$$
e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!},
$$
所以
$$
(1+t)e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n!}
= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} \right) t^n.
$$
化简系数：
$$
\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1 + n}{n!} = \frac{n+1}{n!}.
$$
因此
$$
x e^{x} = e \left[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} (x-1)^n \right].
$$
由于指数级数对一切实数收敛，所以收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。

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最终答案
（1）$\displaystyle{\sqrt{x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\frac{3}{2}}{n} (x-1)^n,\quad 0（2）$\displaystyle{\lg x = \frac{1}{\ln 10}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^n,\quad 0（3）$\displaystyle{x e^{x} = e\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} (x-1)^n,\quad -\infty

难度：★★☆☆☆