同济高数 第12章 第12-5-2题

[AI解答]

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（1）求 $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ 近似值（误差不超过 0.0001）

首先，利用幂级数展开：
$$
\frac{1}{1+x^{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{4n}, \quad |x|<1
$$
因此
$$
\int_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x
= \int_{0}^{0.5} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{4n} \mathrm{~d}x
= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{0.5} x^{4n} \mathrm{~d}x
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{0.5} x^{4n} \mathrm{~d}x = \left.\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right|_{0}^{0.5} = \frac{(0.5)^{4n+1}}{4n+1}
$$
所以
$$
I = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(0.5)^{4n+1}}{4n+1}
$$

这是一个交错级数，误差不超过第一个被舍去项的绝对值。

逐项计算：
- $n=0$: $\frac{0.5^{1}}{1} = 0.5$
- $n=1$: $-\frac{0.5^{5}}{5} = -\frac{0.03125}{5} = -0.00625$
- $n=2$: $\frac{0.5^{9}}{9} = \frac{0.001953125}{9} \approx 0.0002170$
- $n=3$: $-\frac{0.5^{13}}{13} = -\frac{0.0001220703125}{13} \approx -0.00000939$

此时第3项绝对值约为 $9.39\times 10^{-6} < 0.0001$，因此取前3项即可满足精度。

前3项和：
$$
0.5 - 0.00625 + 0.0002170 = 0.493967
$$
四舍五入到小数点后四位：
$$
\boxed{0.4940}
$$

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（2）求 $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x$ 近似值（误差不超过 0.001）

已知 $\arctan x$ 的幂级数展开：
$$
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1
$$
因此
$$
\frac{\arctan x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n+1}
$$
逐项积分：
$$
\int_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d}x
= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \int_{0}^{0.5} x^{2n} \mathrm{~d}x
= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \cdot \frac{(0.5)^{2n+1}}{2n+1}
$$
即
$$
I = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(0.5)^{2n+1}}{(2n+1)^2}
$$

这也是交错级数，误差不超过第一个被舍去项的绝对值。

逐项计算：
- $n=0$: $\frac{0.5^{1}}{1^2} = 0.5$
- $n=1$: $-\frac{0.5^{3}}{3^2} = -\frac{0.125}{9} \approx -0.0138889$
- $n=2$: $\frac{0.5^{5}}{5^2} = \frac{0.03125}{25} = 0.00125$
- $n=3$: $-\frac{0.5^{7}}{7^2} = -\frac{0.0078125}{49} \approx -0.0001594$

第3项绝对值约 $0.000159 < 0.001$，因此取前3项即可。

前3项和：
$$
0.5 - 0.0138889 + 0.00125 = 0.4873611
$$
四舍五入到小数点后三位：
$$
\boxed{0.487}
$$

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难度评级：★★☆☆☆