同济高数 第12章 第12-6-1题
📝 题目
1．已知函数序列 $\displaystyle s_{n}(x)=\sin \frac{x}{n}(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛于 0 ，
（1）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，$s_{n}(x)$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ；
（2）证明 $s_{n}(x)$ 在任一有限区间 $[a, b]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）求 $N(\varepsilon, x)$**
已知函数序列 $\displaystyle s_n(x) = \sin\frac{x}{n}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上收敛于 0。
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，要使
$$
|s_n(x) - 0| = \left|\sin\frac{x}{n}\right| < \varepsilon
$$
利用不等式 $|\sin t| \le |t|$，有
$$
\left|\sin\frac{x}{n}\right| \le \frac{|x|}{n}
$$
因此只需
$$
\frac{|x|}{n} < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{|x|}{\varepsilon}
$$
取
$$
N(\varepsilon, x) = \left\lfloor \frac{|x|}{\varepsilon} \right\rfloor
$$
（或取 $\displaystyle N = \left\lceil \frac{|x|}{\varepsilon} \right\rceil$），则当 $n > N$ 时，必有 $|s_n(x)-0|<\varepsilon$。
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**（2）证明在任意有限区间 $[a,b]$ 上一致收敛**
设 $[a,b]$ 为任一有限闭区间，记
$$
M = \max\{|a|, |b|\}
$$
则对任意 $x \in [a,b]$，有 $|x| \le M$。
于是
$$
|s_n(x)-0| = \left|\sin\frac{x}{n}\right| \le \frac{|x|}{n} \le \frac{M}{n}
$$
对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $\displaystyle N = \left\lceil \frac{M}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 一致地有
$$
|s_n(x)-0| \le \frac{M}{n} < \varepsilon
$$
因此 $s_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 0。
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难度评级：★★☆☆☆
（属于基本的一致收敛判定与估计问题，只需利用 $|\sin t| \le |t|$ 及一致收敛定义即可完成）