同济高数 第12章 第12-7-7题

[AI解答]

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证明：设周期函数 $ f(x) $ 的周期为 $ 2\pi $，其傅里叶系数为：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.
$$

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（1）若 $ f(x - \pi) = -f(x) $

首先，由周期为 $ 2\pi $ 可得：
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx.
$$
作变量代换 $ t = x - \pi $，则 $ x = t + \pi $，积分区间变为 $ -2\pi \le t \le 0 $，利用周期性：
$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{-2\pi}^{0} f(t + \pi) \, dt.
$$
由条件 $ f(t+\pi) = -f(t) $，得：
$$
\int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \, dt = -\int_{-2\pi}^{0} f(t) \, dt.
$$
又因为周期为 $ 2\pi $，有：
$$
\int_{-2\pi}^{0} f(t) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt.
$$
因此：
$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = -\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad 2\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0,
$$
故 $ a_0 = 0 $。

对于 $ n \ge 1 $，考虑 $ a_n $：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx.
$$
令 $ x = t + \pi $，则：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \cos(n(t+\pi)) \, dt.
$$
由条件 $ f(t+\pi) = -f(t) $，且 $ \cos(n(t+\pi)) = \cos(nt + n\pi) = (-1)^n \cos(nt) $，得：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} \big[-f(t)\big] \cdot (-1)^n \cos(nt) \, dt = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt.
$$
利用周期性，将积分区间平移回 $ [-\pi, \pi] $：
$$
\int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt = \pi a_n.
$$
因此：
$$
a_n = (-1)^{n+1} a_n.
$$
若 $ n $ 为偶数，即 $ n = 2k $，则 $ (-1)^{n+1} = -1 $，得 $ a_{2k} = -a_{2k} \Rightarrow a_{2k} = 0 $。
若 $ n $ 为奇数，则等式恒成立，无额外约束。

同理，对 $ b_n $：
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx,
$$
代换 $ x = t + \pi $ 得：
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \sin(n(t+\pi)) \, dt.
$$
由于 $ \sin(n(t+\pi)) = \sin(nt + n\pi) = (-1)^n \sin(nt) $，且 $ f(t+\pi) = -f(t) $，得：
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} [-f(t)] \cdot (-1)^n \sin(nt) \, dt = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt.
$$
周期性给出：
$$
\int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt = \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt = \pi b_n,
$$
所以：
$$
b_n = (-1)^{n+1} b_n.
$$
当 $ n $ 为偶数时，$ (-1)^{n+1} = -1 $，得 $ b_{2k} = 0 $。
因此结论（1）成立。

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（2）若 $ f(x - \pi) = f(x) $

同样令 $ x = t + \pi $，则：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \cos(n(t+\pi)) \, dt.
$$
此时 $ f(t+\pi) = f(t) $，且 $ \cos(n(t+\pi)) = (-1)^n \cos(nt) $，得：
$$
a_n = \frac{(-1)^n}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \cos(nt) \, dt = (-1)^n a_n.
$$
若 $ n $ 为奇数，即 $ n = 2k+1 $，则 $ (-1)^n = -1 $，得 $ a_{2k+1} = -a_{2k+1} \Rightarrow a_{2k+1} = 0 $。

同理，对于 $ b_n $：
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t+\pi) \sin(n(t+\pi)) \, dt = \frac{(-1)^n}{\pi} \int_{-2\pi}^{0} f(t) \sin(nt) \, dt = (-1)^n b_n.
$$
当 $ n $ 为奇数时，$ (-1)^n = -1 $，得 $ b_{2k+1} = 0 $。

因此结论（2）成立。

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难度评级：★★★☆☆
（需要掌握傅里叶系数公式、变量代换、周期性及奇偶性推理，思路清晰但步骤较多）