同济高数 第12章 第12-8-2题

[AI解答]

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习题12-8（2）
将函数 $ f(x) = x^2 $，$ 0 \le x \le 2 $ 分别展开成正弦级数和余弦级数。

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一、展开成正弦级数

正弦级数对应奇延拓，周期为 $ 2l = 4 $，即 $ l = 2 $。
正弦级数形式为：
$$
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\frac{n\pi x}{l}, \quad l=2
$$
其中：
$$
b_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin\frac{n\pi x}{l} \, dx
= \frac{2}{2} \int_0^2 x^2 \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx
= \int_0^2 x^2 \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx
$$

计算积分：
$$
\int x^2 \sin(kx) \, dx = -\frac{x^2}{k}\cos(kx) + \frac{2x}{k^2}\sin(kx) + \frac{2}{k^3}\cos(kx)
$$
其中 $ k = \frac{n\pi}{2} $。

代入上下限 $ 0 $ 到 $ 2 $：
- 在 $ x=2 $ 时：
$\sin(k\cdot 2) = \sin(n\pi) = 0$，
$\cos(k\cdot 2) = \cos(n\pi) = (-1)^n$
所以：
$$
-\frac{4}{k}(-1)^n + 0 + \frac{2}{k^3}(-1)^n
= (-1)^n\left( -\frac{4}{k} + \frac{2}{k^3} \right)
$$
- 在 $ x=0 $ 时：
$\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$，得：
$$
0 + 0 + \frac{2}{k^3} = \frac{2}{k^3}
$$

因此定积分为：
$$
b_n = (-1)^n\left( -\frac{4}{k} + \frac{2}{k^3} \right) - \frac{2}{k^3}
$$
代入 $ k = \frac{n\pi}{2} $：
$$
\frac{1}{k} = \frac{2}{n\pi}, \quad \frac{1}{k^3} = \frac{8}{n^3\pi^3}
$$
所以：
$$
b_n = (-1)^n\left( -\frac{8}{n\pi} + \frac{16}{n^3\pi^3} \right) - \frac{16}{n^3\pi^3}
$$
整理：
$$
b_n = -\frac{8}{n\pi}(-1)^n + \frac{16}{n^3\pi^3}\left[(-1)^n - 1\right]
$$

故正弦级数展开为：
$$
\boxed{x^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ -\frac{8}{n\pi}(-1)^n + \frac{16}{n^3\pi^3}\left((-1)^n - 1\right) \right] \sin\frac{n\pi x}{2}, \quad 0 \le x < 2}
$$
在端点 $ x=0,2 $ 处级数收敛到 $ 0 $。

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二、展开成余弦级数

余弦级数对应偶延拓，周期为 $ 2l = 4 $，$ l=2 $。
余弦级数形式：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\frac{n\pi x}{l}
$$
其中：
$$
a_0 = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \, dx = \frac{2}{2} \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3}
$$
$$
a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos\frac{n\pi x}{l} \, dx
= \int_0^2 x^2 \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx
$$

计算积分：
$$
\int x^2 \cos(kx) \, dx = \frac{x^2}{k}\sin(kx) + \frac{2x}{k^2}\cos(kx) - \frac{2}{k^3}\sin(kx)
$$
$ k = \frac{n\pi}{2} $。

在 $ x=2 $：
$\sin(k\cdot 2) = \sin(n\pi)=0$，$\cos(k\cdot 2) = (-1)^n$，得：
$$
0 + \frac{4}{k^2}(-1)^n - 0 = \frac{4}{k^2}(-1)^n
$$
在 $ x=0 $：
$\sin 0=0$，$\cos 0=1$，得：
$$
0 + 0 - 0 = 0
$$
所以：
$$
a_n = \frac{4}{k^2}(-1)^n
$$
代入 $ k^2 = \frac{n^2\pi^2}{4} $：
$$
a_n = \frac{4}{\frac{n^2\pi^2}{4}} (-1)^n = \frac{16}{n^2\pi^2}(-1)^n
$$

因此余弦级数展开为：
$$
\boxed{x^2 = \frac{4}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{16(-1)^n}{n^2\pi^2} \cos\frac{n\pi x}{2}, \quad 0 \le x \le 2}
$$

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难度评级：★★★☆☆
（涉及分段积分、奇偶延拓、三角函数积分技巧，计算量中等，但思路固定）