同济高数 第8章 第8-1-15题
📝 题目
15．设已知两点 $M_{1}(4, \sqrt{2}, 1)$ 和 $M_{2}(3,0,2)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 由终点坐标减去起点坐标得到：
$$
\overrightarrow{M_1 M_2} = (3 - 4,\; 0 - \sqrt{2},\; 2 - 1) = (-1,\; -\sqrt{2},\; 1)
$$
1. 计算向量的模
模长公式为：
$$
|\overrightarrow{M_1 M_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2}
= \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2
$$
2. 方向余弦
设方向余弦分别为 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$，则
$$
\cos\alpha = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2},\quad
\cos\beta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2},\quad
\cos\gamma = \frac{1}{2}
$$
3. 方向角
方向角 $\alpha, \beta, \gamma$ 的取值范围通常为 $[0, \pi]$，由方向余弦可得：
$$
\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}
$$
$$
\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}
$$
$$
\gamma = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}
$$
因此，向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 的模为 $2$，方向余弦为 $\displaystyle\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$，方向角为 $\displaystyle\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$。
难度：★☆☆☆☆