同济高数 第8章 第8-2-3题
📝 题目
3．已知 $M_{1}(1,-1,2), M_{2}(3,3,1)$ 和 $M_{3}(3,1,3)$ ．求与 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{2} M_{3}}$ 同时垂直的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
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步骤1：计算向量
首先求出两个向量：
$$
\overrightarrow{M_1 M_2} = (3-1,\ 3-(-1),\ 1-2) = (2,4,-1)
$$
$$
\overrightarrow{M_2 M_3} = (3-3,\ 1-3,\ 3-1) = (0,-2,2)
$$
步骤2：求同时垂直于两向量的向量
取它们的叉积：
$$
\vec{n} = \overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_2 M_3}
=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 4 & -1 \\
0 & -2 & 2
\end{vmatrix}
$$
计算行列式：
$$
\vec{n} = \mathbf{i}(4\cdot 2 - (-1)(-2)) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - (-1)\cdot 0) + \mathbf{k}(2\cdot(-2) - 4\cdot 0)
$$
$$
= \mathbf{i}(8 - 2) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(-4 - 0)
$$
$$
= (6, -4, -4)
$$
步骤3：单位化
该向量的模：
$$
|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}
$$
所以单位向量为：
$$
\pm \frac{1}{2\sqrt{17}}(6, -4, -4) = \pm \left(\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}\right)
$$
最终答案：
$$
\boxed{\pm \left(\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}\right)}
$$