同济高数 第8章 第8-2-5题
📝 题目
5．在杜杆上支点 $O$ 的一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{1}$ 的点 $P_{1}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{1}}$ 成角 $\theta_{1}$ 的力 $F_{1}$ ；在 $O$ 的另一侧与点 $O$ 的距离为 $x_{2}$ 的点 $P_{2}$ 处，作用着一个与 $\overrightarrow{O P_{2}}$成角 $\theta_{2}$ 的力 $F_{2}$（图8－27）。问 $\theta_{1}, \theta_{2}, x_{1}, x_{2},\left|F_{1}\right|$ ，
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$\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|$ 符合怎样的条件才能使杜杆保持平衡？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要使杠杆保持平衡，需要满足绕支点 $O$ 的合力矩为零。
力 $F_1$ 对支点 $O$ 的力矩大小为
$$
M_1 = |F_1| \cdot x_1 \cdot \sin\theta_1
$$
方向为逆时针或顺时针取决于 $\theta_1$ 的符号（通常规定使杠杆逆时针转动的力矩为正）。
同理，力 $F_2$ 对支点 $O$ 的力矩大小为
$$
M_2 = |F_2| \cdot x_2 \cdot \sin\theta_2
$$
由于 $F_1$ 和 $F_2$ 分别作用在支点两侧，它们产生的力矩方向相反。
因此，平衡条件为两力矩大小相等，方向相反，即
$$
|F_1| \cdot x_1 \cdot \sin\theta_1 = |F_2| \cdot x_2 \cdot \sin\theta_2
$$
若考虑角度方向，一般取 $\theta_1, \theta_2$ 为力与杠杆臂之间的夹角（锐角），则上式即为平衡条件。
所以，杠杆保持平衡的条件是：
$$
\boxed{|F_1| \, x_1 \sin\theta_1 = |F_2| \, x_2 \sin\theta_2}
$$
难度：★☆☆☆☆